Методы теории возмущений для нелинейных систем - Джакалья Г.Е.О.
Скачать (прямая ссылка):
периодическая (или периодическая) по отношению к т и не имеет постоянного
члена. По индукции (или каким-нибудь иным способом) можно показать, что
эта процедура пригодна для любого значения р = 1, 2, ... Это и доказывает
существование формальных рядов
5 = 50(ч, ?) + е5, (ц, I) +..., (2.8.17)
с помощью которых гамильтониан приводится к виду
К = ЛГ0(Ч, I) + еЯ, (л, 1) +..., (2.8.18)
где новый гамильтониан обладает тем свойством, что если ц, | заменить на
решение дополнительной системы, то К не будет явно зависеть от т и,
следовательно,
^ = (28-19) где К' определяется формальным рядом
К' = К'0(а, -, р2, ..., р") + ъК\(а, -. р,........р") -р ...
*) Далее "-" означает, что функция не зависит явно от соответствующего
аргумента. (Прим. перев.).
8. ТЕОРИИ ВОЗМУЩЕНИЙ XI ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛИ
109
Очевидно, можно написать
dK' =у | дК dlk
dz I дг[. йт 1 9|. йт
А=1 \ А Я
П
•h\ =
П
die*
dt
п, учитывая (2.8.19), имеем dKQjdt = 0, так что #о(П, |) = /0 = const.
(2.8.20)
Итак, в итоге применения преобразования Ли мы получили следующий
результат: новый гамильтониан не зависит от дополнительного времени т и,
следовательно, найден новый (формальный) интеграл движения, имеющий вид
(2.8.20). Справедливость этого формального результата в неформальном
смысле может быть проверена только анализом сходимости метода. Так как
была показана эквивалентность метода Ли и метода Цейпе-ля (см. [63.1]) и
так как при условии сходимости метода Колмогорова (при переменных
частотах) сходится метод Цейпеля (см. [81]), то сходимость метода
преобразований Ли при достаточно малых и несколько раз дифференцируемых
возмущениях может быть отсюда получена косвенным образом. Как и раньше,
такая сходимость не может быть равномерной по отношению к е и к начальным
условиям. Преимущество излагаемого здесь метода заключается в том, что в
него входят только квадратуры, а в методе Пуанкаре, в противоположность
этому, мы имеем дело, вообще говоря, с уравнениями в частных производных.
Не менее важным преимуществом является то, что мы получили преобразование
в явном виде (см. (2.8.1)), можем записать любую функцию переменных у, х
через переменные т], % непосред-ственным использованием генератора S (см.
(2.8.2)), а сам метод и получающиеся в результате его применения величины
инвариантны относительно канонических преобразований, что непосредственно
следует из инвариантности скобок Пуассона относительно таких
преобразований.
Напомним, что каноническое преобразование
Q = Q(q,P,t), Р = P(q, р, т), (2.8.21)
получаемое с помощью генератора Ли S(Q,P, т), может быть определено как
решение системы уравнений
110 ГЛ. II. МЕТОДЫ ТЕОРИИ ВОЗМУЩЕНИЙ
с начальными условиями (при т = 0)
Q(q, р, 0) = q, P(q,p,0) = p, (2.8.23)
где т - некоторый параметр. Предполагается, что правые части соотношений
(2.8.21) принадлежат классу С2 относительно всех 2п + 1 переменных в
некоторой области фазового пространства и при т, ограниченном некоторым
интервалом, скажем, |т] < то.
Для генератора И7 (q, Р, т) из метода Пуанкаре это же каноническое
преобразование определяется формулами
"=*+(?)'. "*¦*>
при УСЛОВИИ
W(q,P, 0)^0,
которое эквивалентно начальным условиям (2.8.23). Как уже было
установлено,
S{Q, Р, т) = -Г)- (2.8.25)
где Q определяется первой из формул (2.8.24). Вводя разложения
СО
W{q, Р, т)= 2 Wn{Q,P) т",
п-0
(2.8.26)
S{Q, Р,т)= 2 Sn+l{Q,P) т"
71=0
п приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях т в
(2.8.25), получаем связь между функциями Wh и Sj, которая и была
установлена выше.
В работе Мерсмана [73] алгоритм Депри получен формальным предположением т
= е. Если считать, что теперь обозначение S соответствует генератору Ли
из уравнения (1.5.7), то для сохранения используемых там обозначений в
уравнении (2.8.25) Sn надо заменить на Sn+iln\ и тогда можно получить
S1 = Wh я -OW
^ 2 QQ Qp 1
, dW2 dW-Л
1 dQ, ЭР. г .
Щ
Г dW1 SWl 0 dW1 dWA
+ dQ.dQ. дР. dP. + dQ.dP. dP. dQ,
j i L I J I J I J I J J
8. ТЕОРИИ ВОЗМУЩЕНИЙ И ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛИ
111
и т. д. Алгоритм Хори также получается из (2.8.25), если заменить S (Q,
Р, т) на S (Q, Р) и затем положить т = 1, т. е. разложения из уравнения
(2.8.25), соответствующие разложениям (2.8.26), имеют вид
эо
W(q. Р)= 2 Wn{Q, Р),
П~1
S(Q, P) = S1(Q, Р).
Их подстановка в (2.8.25) (или сразу же в получающиеся иа
(1.6.10) разложения) дает
И'7 = 51+ - 'V--4-
1 " 2 ^ дО. дР. ~
г *
, 1 V Г &Si dSj dSx , &2Sj dSt dS, , д2Бг dSt dSt ] .
' 6 tf dPi дР1 ^ dQidP! dPi dQi + дР^ 8Qi
(2.8.27)
Затем в функциях W и S вводится параметр е, так что W = W{Q,P, г), ^ =
f/(<?, Р, е),
и рассматриваются формальные ряды
оо оо
W = 2 (<?, Р) е", и = 2 Un (Q, Р) еп. (2.8.28)
п=1 П=1
Тем или иным образом обращая соотношения (2.8.27), находим
^ 2 **dQ. дР. +
i i
i v Г aw aw dw , , a2w aw aw , aw aw i
12 ^ [09,39, JPi oPj " 3-P; dQj ^ dPidPj dQ. a^rj +• • *
(2.8.29)
Подставляя разложения (2.8.28) и приравнивая члены одинакового порядка по
е, из (2.8.27) находим
