Методы теории возмущений для нелинейных систем - Джакалья Г.Е.О.
Скачать (прямая ссылка):
= иг,
Wt^U, + ±^§x, (2.8.30)
i v* i
112
ГЛ. II. МЕТОДЫ ТЕОРИИ ВОЗМУЩЕНИЙ
а из (2.8.29)
?Л = Wu
и -w (2.8.31)
2 ^doQ. дР. i Yi i
и т. д. Выписанные соотношения позволяют перевести описанный в начале
параграфа метод теории возмущений Хори [54] в метод, введенный Депри.
В качестве примера рассмотрим уравнение Дюффинга без
демпфирования, т. е. уравнение
й + и + г^иЪ'= гВ cos at, (2.8.32)
где е^О, 4=^0, В и со =7^= 0 - постоянные параметры. Рассмотрим случай,
когда со не является рациональным и, более того, когда для любых целых
чисел р ф 0, q соотношение
\pa - q\>K(p)EU2 (2.8.33)
удовлетворяется для выбранной некоторым образом функции К(р), скажем, для
К(р) = р5/2~а, где целое число о 3* 4. Если соотношение (2.8.33) не
выполнено, то мы будем иметь дело с резонансным случаем, который
рассматривается в последней главе книги.
Введя каноническое преобразование
и = ^2р\sin gi, M = Y2^icosgi, уравнение (2.8.32) можно записать в виде
° ' дН ,<•, Q о/\
= 1Н = -^ (2-8-34)
где ____
Н = Pi~r sy/?i sin 4q1 - гВ^2р1 sin qt cos at.
Введя далее координату q^ = at и сопряженный ей импульс рч, систему можно
привести к виду (/ = 1, 2)
• _ дК_ ¦ _ дК
~ др} ' Pj ~ dqj '
К = Pi + (r)Рч + е {уPi sin 4gx - В \'r2p1 sin qt cos q2) = (2.8.35)
= K, (Pl p^) + EKt {qu q.2. pu -).
8. ТЕОРИИ ВОЗМУЩЕНИЙ И ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛИ ИЗ
Дополнительная система определяется гамильтонианом К0, и ее решение имеет
вид
3? = т + Pi, 32 = мт + р2, р? = аъ pi = а2,
где cti, 0С2, Pi, - постоянные. Пусть новый гамильтониан имеет вид
К* = К1 + ЪК\ + Ъ*К\+ а генератор Ли -
sS = EiSj + е252 + ...,
с условием, что функция К* не должна зависеть от т и, следовательно, К0 -
интеграл движения. Обозначим новые координа-
* * * *
ты и импульсы через ?i, q_%, Pi, Рг-Из уравнения
ds 1 , ЕГ / 0 0 0 \ гг*
~хг + ^i wi, Ч_г, Р1, -) = К1
dx
при условии, что со не является целым, получаем
3 2
#i = -gVP Ь
->1 = --4-YP1 Sin2g!+ - Pi Sin4gi +
В]/2р*. ^ _ Б l/~2p!
+ 2(1 +со)' 008 + 02) + 2(l-co) c°s (г! - ?г).
Используя уравнение
- 1Г + т-(Ki + Klsi) + K2 = Kl
и то, что в нашем случае К% = 0, второе приближение получаем в виде
"* 17 2 *5 , В2
^2 - -рТ~ У Р1 +
е ____ 1
- -j-
21 " ** , В2
-32"TPi +4(1 -со2)
sin 2ql - Jg y2pi sin 4gt -
7 ** * ^2 *
ШТ!Р1 -- 8" Ц - ц") sin 21' +
в,и3-"."> -(2и)" sin (,;+,;> +
1 32 (1 - со2) (1 + co)
8 Г. E. О. Джакалья
114
ГЛ. II. МЕТОДЫ ТЕОРИИ ВОЗМУЩЕНИЙ
By (21 - 5со~)
128 (1 - со2) (3 - со)
1177, (2pi)3/2 cos (3?i - qV) +
Bv(2Pi)3/2 (r * , Л . ^(ЗрГ)372 (г * ^
128(5+^Г С0Б (°gi + qi) + 128(5-57 008 (0?1 " ?з) "
52 -rsin(2gr + 2дг)~ Vfi7^'-TwSiii(2gr - 2ga)-
16(1+ со)2 v ^ 1 16 (1 - со)
Таким образом, в найденном приближении новый гамильтониан имеет вид
К* = р\ + ирг + + ~Ж г2ур* + 0 ^
где отброшена аддитивная постоянная. С другой стороны, К о является
интегралом движения, т. е.
р* + ар\ = const,
так что функция
* * 3 *2
_ mn. - __
^ *г , 17 о *3 1 /о / з\
К* -Pi- ыр2 = - гур 1 + -дт- В2ур 1 + О (е3)
также является интегралом, т. е.- в главной своей части задача сведена к
квадратурам, и за исключением только рациональных или "близких" к
рациональным значений со может быть найдено общее решение. Связь между
двумя наборами переменных q, р и q*, р* определяется формулами (2.8.1)
или в используемых сейчас обозначениях формулами
a* xVi! п"-1Ж.
ь + Z п\ Ds ар; >
п= 1
P, = Pi -Z*^US
1 dS
n= 1 "• d1j
(2.8.36)
где /•= 1,2. Ясно, что так как функцпя S не зависит от рг, то д2 = ?2, т.
е. преобразование не изменяет времени (?2= (c)О* Так как мы определили
eS = eSj + e2S2+...,
9. НЕГАМИЛЬТОНОВЫЕ СИСТЕМЫ И ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛИ Ц5
то, если положить
W = zS,
(2.8.37)'
преобразование можно записать так:
Qj = Qi +
(2.8.38)
со
тттти с точностью до членов второго порядка по е
7
где
W1 = bS 1, W2 = sSz.
Очевидно, что если предположить сходимость метода, то все pi сведутся к
константам, a qj - к линейным функциям времени (при этом q2 = at).
Частота угловой переменной q\ является степенным рядом относительно е. С
точностью до членов второго порядка имеем
9. Методы теории возмущений для негамильтоновых систем, основанные на
преобразованиях Ли
Хори [55] и Кэмел [57] независимо друг от друга развили методы теории
возмущений для общих негамильтоновых систем, обобщив соответствующий
метод, пригодный только для гамильтоновых систем дифференциальных
уравнений. Ясно, что такое обобщение не является таким уж необходимым,
ибо, как уже говорилось, любую систему можно свести к гамильтоновой
увеличением ее порядка вдвое и введением котангепциального пространства
Дирака. Увеличение вдвое числа рассматриваемых уравнений окупается тем,
что необходимо найти только две функции: новый гамильтониан и генератор
преобразования. При 8*
* О *
*'де Р\, Pi - константы.
116
ГЛ. II. МЕТОДЫ ТЕОРИИ ВОЗМУЩЕНИЙ
непосредственном подходе приходится иметь дело со столькими неизвестными
функциями, сколько есть переменных; действительно, при использовании
результатов § 7 главы I это становится ясно сразу же. Здесь мы опишем
