Методы теории возмущений для нелинейных систем - Джакалья Г.Е.О.
Скачать (прямая ссылка):
dy ¦ дН1 dx, дН1
= -- -}-=---------- а = 2 . п)
dx дх. ' dx ду^ '
Эти уравнения соответствуют динамической системе с (я-1)-й степенью
свободы и гамильтонианом Ни. Тем не менее, необходимо отметить, что надо
найти только частное решение (в смысле Якоби) такой системы. Разумеется,
если для некоторого значения (х, у) одна или более частных производных
дН\"!дхк равны нулю или малы (скажем, так же малы, как и е), то решение
будет содержать особенности или малые делители и метод применять нельзя.
Один из способов рассмотрения такой ситуации заключается в предположении
о резонансности, и он будет описан в главе V. Здесь мы ограничимся
изучением частного случая, когда одна из производных, например dH\sjdx2,
является О (г11), н рассмотрим разложение
F = F0 + zkFx + еF2 + e3/2F3 + ...
Из основного уравнения (F, Н) - 0 приравниванием членов одинакового
порядка по е получаем
(Hq,Fq) = 0, (Ho,Fi) = О,
р V (MbOFo dHrpdFo ,dJhdF1_
VO' 2) i I дхх дуг i • • • т dxn dyn
dH, dF Q dHt dF 0
дУ1 dx j дУг dx2
dFt дуг ^ dHlP dx2 d?i дУг + •
CD &3 dFt _ dHi ¦ Ex
(r)У\ dxt dx2
дНг OF о dy dx
= 0.
<*" f.) + +f +al" fi +... + ajb
' 0 ftii- l dx, dy, dx" dy" 1 dx
dHj_ df\
dy dx ^n n
7 Г. E. О. Джакалья
98
ГЛ. II. МЕТОДЫ ТЕОРИИ ВОЗМУЩЕНИЙ
и т. д. Если опять считать Но = Ho(xi), Fо = ?1, то отсюда следует
со?|J = 0. т. е. ^=^0/2....................Уп-х)-
о dF2 дН1 .
СО 1 ^- =------i = it,.
дУ1 дУ1 т-
Й = (Я, ^2) + ^ ^ (F*_3 - Л-2) = 1*
при к = А, о, ... Теперь функция Fu - произвольная и может быть взята
нулевой, так что автоматически получаем я];з = 0 п, следовательно,
0 dF3 п
(01 -= О
9У1
ИЛИ
F3 = F3s(y2, ..., уп, хи ..., хп).
С другой стороны,
F г ~ ~ Н1р 4- F2s,
wi
так что функция
'tas = {Пи, F2s) 4- (Н1Р, F2P)s должна быть нулевой. Так как
Н ±н ) __ 1 д<(н шгЛ о
р' < рIs ~ К)2 дх1 ^ р' ^ ~
то отсюда следует
^4s = (Ни, F2s) faT~d^ = 0'
и, например, функция F2S = 0 удовлетворяет этому требованию. В любом
случае характеристики (для любого порядка) определяются уравнениями
dy3 _ _ dyn _ dx3 _ _ dxn
дН. дН. дНс"Я,
Is Is ls ls
= с?т
дх ду3 ду.
П
с исчезнувшим требованием отсутствия малого делителя dH\sjdx2.
7. РЕШЕНИЕ С ПОМОЩЬЮ СКОБОК ПУАССОНА
99
Если F2s *=== 0, то функция F2 полностью определена, a имеет вид
4 2
Г ^Я, ЗЯ, 1 9(0? , , ,
J №¦• *¦¦>> -s? Tf J - ж(tm) S7 u
(ш^)2 J L *r2 дуг J 2 ((0?)
и т. д. При каждом последовательном приближении характеристики остаются
теми же самыми и не имеют каких-либо особенностей. Также ясно, что этот
метод аналогичным образом можно применить п в случаях, когда больше чем
одна производная дНп/дхк мала.
Положим теперь Fо = х2, так что функция F будет соответствовать интегралу
в задаче Пуанкаре. В этом случае
г,,0 - _ dJh
1 дУ\ дУ2 '
так что
Fi = - j ^ dVi + (г/2, • • • • уп,х)-
Однако подынтегральная функция дН\!ду2 может содержать члены, не
зависящие от у\ и, следовательно, в F\ будут секулярные члены,
увеличивающиеся вместе с у\. Такие секулярные члены будут иметь вид
1 СдН
f и = - J ~df аУi + Ь (г/2' • • •. у*, *)
и они не будут равны нулю до тех пор, пока функция Ни не станет
независимой от г/г• Следовательно, приходится отказаться от предположения
F0 = х2 и принять более общую форму
Fo = ро(Уп •••, г/п,ж).
Если можно выбрать функцию Fq так, чтобы в высших приближениях
отсутствовали секулярные члены, то можно получить по крайней мере
формальный интеграл, а в конечном счете и сходящийся. Уравнение для
функции F\ получается из соотношения
(H0,Ft) + (HUF0) =0
и имеет вид
7*
^ = (Hi.Fa).
100
ГЛ. II. МЕТОДЫ ТЕОРИИ ВОЗМУЩЕНИЙ
Секулярная часть членов правой части уравнения должна быть равна нулю, т.
е.
(Ни, Fo) = 0, (2.7.12)
так как Fo по предположению не зависит от у\. Это предположение легко
оправдать условием (#о, Fо)=0 при Ho=Ho(xi). Решение уравнения (2.7.12)
получается сразу же и имеет вид: Fo=kHu, где к - постоянная. С точки
зрения теории Гамильтона - Якоби ясно, что такой выбор вида Fо
эквивалентен ситуации в методе Пуанкаре (см, [37]).
Интересной физической чертой этой процедуры является то, что секулярная
часть функции Hi становится приближением нулевого порядка для интеграла
движения. Этот факт объясняется сохранением энергии системы при
каноническом преобразовании. Кроме того, обсуждаемый вопрос тесно связан
с методами теории возмущений, основанными на преобразованиях и рядах Ли,
которые будут описаны ниже в этой главе.
Теперь рассмотрим исходную систему вида
дН дН п
Ук дх^ хи ду^ (к - i
где Н = Н {у, х). Пусть t = уп+1, так что д W ' д'Ф
Уа = а^~, х* = - дГ- (а = 1, ...,га + 1), (2.7.13)
а
где Ш = Я + Жп+i, Xn+i = Р = const. Угловые переменные такой системы, в
соответствии с методом Пуанкаре, имеют вид
У а У а 01
где уао - независимые постоянные, а
дхп4-1 0 , I , о 2 ,
<йа - , - Сйа -f- SCDa -р S~(Oa -j- . . .
дха
и все <й" являются функциями переменных xi, В част-
ности,
о _ дН,, а ~ И~г '
ах "
так что
У а - йа^ -f- 8Va (х , g) t -f- fSa.
