Методы теории возмущений для нелинейных систем - Джакалья Г.Е.О.
Скачать (прямая ссылка):
генерируются функцией малого параметра, примененный к функциям
Гамильтона, зависящим от этого же
<р(0) (I) - Тп (I) = ф("> - f"> - Gn (I), (2.9.17)
Gn (I) =
! Г
m, n-m
[(2.9.18)
где
Е*п(Ъ) = Еп(1) при Тп - О, /п,О (I) = /гг,О (I) при Тп = О,
Р
120
ГЛ. II. МЕТОДЫ ТЕОРИИ ВОЗМУЩЕНИИ
параметра, также может быть здесь получен, если с самого начала забыть
про наличие этого параметра, что и было показано выше и следует из работы
Мерсмана [73]. Аналогичным образом описанный выше метод может быть
упрощен введением операторов и функций, не являющихся функциями
параметра, с последующим разложением в степенные ряды по е всех
полученных
результатов. Такой подход был осуществлен Хорп [55], и здесь
мы ограничимся кратким изложением его результатов.
Рассмотрим набор из п переменных |i, ..., и операторы Tj.it), и пусть
П
Щ = 2^ ШаГ- (2.9.19)
k=i
Рассмотрим отображение
*; = ^ + 2тт ЛГ%(&), (2-9-20)
Р> 1
где
Di = 1, Di = D6, nl-=D,nr\
Это отображение аналогично отображению (2.8.1) и соответствующим
определениям. В частности, функция Тк(%) играет роль функции
dSfdРассмотрим также отображение вещественной аналитической функции/(ж),
зависящей от п переменных х\, ... ..., хп, в 1-пространство по формулам
/(*) = /(&)+2 (2.9.21)
р> 1
В действительности формулы (2.9.20) являются следствием формул (2.9.21).
Определим обратное отображение
ГГ1 (ж) = Th (I) ||=ж, (2.9.22)
П
Ас =^ТГ1(х)~, (2.9.23)
Й=1 *
так что, обращая отображение (2.9.21), имеем
= f И + 2 -г1 D*f (*)> (2-9.24)
p>i
что является непосредственным обобщением преобразования Ли. Все
выписанные соотношения в действительности в том или
9. НЕГАМИЛЬТОНОВЫ СИСТЕМЫ И ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛИ 121
ином виде содержатся в предыдущем изложении (где есть зависимость от е),
а их доказательство получается сразу же. Уравнение
xk = fk(x) (2.9.25)
после применения преобразования (2.9.20), генерируемого функцией Тк,
переходит в уравнение
i = cp*(I). (2.9.26)
Используя (2.9.24), получаем преобразование, обратное к (2.9.20), в виде
^ = *} + 2 ~Г~ (х). (2.9.27)
р> 1
Так как из (2.9.25) следует, что
гС\
-Л-= 2/" ST- (2-8-28)
*=1 *
то для произвольной функции имеем
к=1 * U= 1 hj
Вычисление функции ф^(|) в (2.9.26) проведем следующим образом.
Дифференцирование соотношения (2.9.27) дает
h = *> + 2^4 (*)К
V> 1
и, подставляя сюда (2.9.25) и (2.9.23), находим
I- = и и + 2 т 2 ь w^iDr'TT1 (*))
V>i h= 1 к
или, используя (2.9.21) и (2.9.20),
it = и ш+2 тг Di и ш+2 т 2 ь (S))+
1 P> 1 r h= 1 Л
+ 2 4^2 TT^fil М1)жЧОГ%Ш)| = <ьШ- (2.9.29)
P^i g>l U=1 I
122 гл. II. МЕТОДЫ ТЕОРИИ ВОЗМУЩЕНИЙ
Теперь рассмотрим ряды
//=/Г +//> + ....
Ф, = Ф$0> + Ф$1)+ .... (2.9.30)
т}=1*-р + ...
и будем искать такие операторы Ти чтобы функции ф,- имели желаемый вид.
Очевидно, предполагаем, что уравнения
У и = А0> (У) (2-9.31)
имеют известное общее решение. Разложение (2.9.30) функций /,¦ не
обязательно подразумевает разложение в степенные ряды по некоторому
малому параметру и не обязательно имеет бесконечное число членов.
Действительно, в обычном случае для возмущений интегрируемой системы
(2.9.31) имеем /$-й) = 0 при к > 2, т. е.
/,- = /'°> + /i1>-
Подставляя ряды (2.9.30) в (2.9.29) и приравнивая члены одинакового
порядка, можно получить рекуррентный алгоритм вычисления неизвестных
функций Ф(/° и Т':>. В этом отношении явное использование параметра е для
представления членов разного порядка является весьма удобным, хотя и не
обязательным. Это означает, что приравнивание членов одинакового порядка
лучше заменить приравниванием коэффициентов при одинаковых степенях е,
если положить /')k) = О (ek), <p(,k) = О (гк), Т^ = = О (ек),
Первые несколько приближений имеют вид
Г = Ф(Л
jfO) U1 i I rr(l) °n I , Al) _ m(l)
h=i
ят,(2) 4 я
4t+^ ж - 2 w1+л0)
h J h= 1 h
а в общем случае
i 2 > +/VO +/?> = V,2',
' ft=i
/"" ^ + TP S-f + ... + ff - фf, (2.9.32)
h-= 1 l к
9. НЕГАМИЛЬТОНОВЫ СИСТЕМЫ И ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛИ
123
что, по существу, эквивалентно выписанным выше соотношениям (2.9.17).
Здесь все функции зависят от переменных ?. Теперь мы введем важное
понятие дополнительной системы, определив
^ = /i0) (I) (2-9.33)
с общим решением
5i=Ii(x), (2.9.34)
так что
h\h * ^г"т+я '
Общее уравнение (2.9.32) на каждом шаге вычисления приближения приводится
к линейной системе дифференциальных уравнений относительно Т\р) (|)
- +2 а/'°1г"Т)) г*р) (т) + ^p) м = ^ (2-9-35)
k=i
где все 1 заменены решениями (2.9.34) дополнительной системы. Ясно, что
уравнение (2.9.35) является непосредственным обобщением уравнения
(2.8.9). Заметим, что как и в обычных методах усреднения, функции Ф^р)
надо выбирать так, чтобы в 7<р)(т) отсутствовали секулярные члены, т. е.
надо, чтобы предел
lim T(f} (т)
X-+оо
был конечным. В простейшем случае функция /j0) линейно зависит от
переменных %, так что система уравнений (2.9.35) является линейной
неоднородной системой с постоянными коэффициентами для приближения любого
порядка. Если имеет место не такой случай, а, например, функции dfj0)/d^k
