Методы теории возмущений для нелинейных систем - Джакалья Г.Е.О.
Скачать (прямая ссылка):
где А, В, С - главные центральные моменты инерции (по осям Ox, Оу, Oz
соответственно). Если положить А - В, то
012
Потенциальная энергия при сделанном выборе осей может быть записана в
виде
гиЖ\ -IV {хс [sin I sin g cos I + (sin b cos / + cos b sin I cos g) sin
I] +
+ zc [cos b cos / - sin b sin I cos g]},
где w - вес волчка, a xG, ya =, 0, z0 - координаты центра масс в системе
координат, связанной с телом. Очевидно, мы имеем интегралы Жо + юЖ\ = Е
(интеграл энергии) и Н = G cos / = На (так как h - циклическая
координата).
Рассмотрим интеграл системы F(L, G, Н, I, g, К), такой, что F = F0 + wFx
+ ..., F0 = ML,G), Fk - Fh(L, G, I, g) (k =. 1, 2, ...),
где по предположению h - циклическая переменная, а Я = //0 - параметр,
зависимость от которого явно не показана. Мы можем переписать Ж0, Ж\ в
виде
= ±.L* + ± G\ = А0 sin (Z -j- g) -f В0 sin (I - g)-j- С0 sin I 4- D° cos
g -f E°,
где
,0 " (L + G) VG*-H*
A с Щ1------------------*
do " (L-G) VG*-H* a ~ Xg Шр--------------->
C0 = nVG^TT*
no _ " \ (G*-L*)(G*-H')
G---------gj--------
&-z -
~ G G'1 '
Условия того, что функция F - интеграл, имеют впд (к = 1, 2,...)
(Жо, Fh)-\-(2@ 1, .fV-i) = 0. (2.6.10)
Оставим пока функцию ^(L, G) = Fq неопределенной и попыта-
6. НОРМАЛИЗАЦИЯ БНРКГОФА 9j
емся определить, при каких условиях на ^ и физические параметры ряд для F
обрывается. Из (2.6.10) получаем
dF. OF.
aL --(- bG -т- = dl dg
= [A0 cos (I + g) + Вй cos (l - g) + c° cos I] ----ь
+'[^°'cos (I + g) - #° cos (l - g) - D° sin g]
dG
dF
- [Al sin (I -}- g) ~r -(r)z, sin (I - g) + Cl sin cos g-\-Ei\ ¦
dl dF
- [^G sin (1 + g) + B°G sin (I - g) + C% sin I -f D% cos g + Eg]
(2.6.11)
При к = 1 находим
= Л°а Г+ bG0) siQ (l + S)+ B аЬ-ьЬ0) sin (l ~ S) +
С°гЬ, Z>°\|v
+ 1Г-sinZ + -^-cosg + ?' =
= A' sin (I + g) + B' sin (l - g) + C sin I + D' cos g + Er, (2.6.12)
где E' - произвольная функция, зависящая от L, G. Функция Fi имеет тот же
вид, что и <3^1. Действительно, это условие является необходимым, так
как, взяв за я|) функцию Жъ (if> = <5^о), мы должны получить F\ = Ж\ +
произвольная функция, зависящая от L, G. Также ясно, что не существует
функции if) Ф- 0, такой, что F\ = 0. При к - 2 уравнения (2.6.11) дают
(см. [38])
F2 = А0Л cos g + Л0,2 cos 2g + Ai-i cos (I - g) +
+ Л1>0 cos I + Aij cos (I + g) + A 1,2 cos (I + 2 g) +
+ A2,-2 cos (21 - 2 g) + A2- i cos (21 - g) -|- Л2>0 cos 21 +
+ А2Л cos (21 + g) + Л2>2 cos (21 + 2g) + Вisin (I - 2g) +
+ #!,_! sin (l - g) -f 5i>0 sin I + Blfl sin (I + g) +
~r Вsin (I + 2g) -j- E", (2.6.13)
где E" - произвольная функция, зависящая от L, G, a Aj, k, Bh k -
определенные функции, зависящие от tyi, ifiG, A0, B°, C°, D°, E', L, G,
a, b ж их производных. Если предположить F2 = 0, то все эти коэффициенты
должны быть тождественно равны нулю, и мы находим, что
Е" = Е'ь = Е'а = 0,
92
ГЛ. II. МЕТОДЫ ТЕОРИИ ВОЗМУЩЕНИЙ
а при условии, что к - ненулевая постоянная, должно быть А' = кА°, В' =
кВ0,
С' = кС°, D' = kD°,
так что F0 = кЖь и F\ = кЖ\. Отсюда видно, что любой дифференцируемый
интеграл (справедливый для всех значений w), имеющий вид F0 wF\,
необходимо должен быть пропорционален функции Жо + юЖ\.
Из (2.6.11) при к = 3 находим
где индексы к. / одновременно в нуль не обращаются, aAhtj,B^}- функции,
зависящие от фе, А0, 5°, С0, D°. Е', Е", L, G, а, b и их производных.
Полагая равными пулю все коэффициенты этого тригонометрического полинома,
находим
F3=ftS3 2 [Ahj cos (kl + jg) -f- B'hsin (kl + jg)], (2.6.14)
I) a = b (A = 2C),
И) D° = E° = E' = 0 (zG = 0),
III)
(2.6.15)
IV)
2 Gl (L* + Hi)-2L*H-G АЮ*
При этих условиях из (2.6.12) следует, что
Fl =^(1--^) VG^-IP[(G-L) sin (I - g)
- (G + E) sin (I - ?)] -f V(G2 - H2)3 sin I
ИЛИ
4:#
Fx - -?• G2 sin2 b [sin / (sin g cos I - cos b cos g sin I)
- cos / sin 6 sin i], (2.6.16)
Из (2.6.13) находим
7. РЕШЕНИЕ С ПОМОЩЬЮ СКОБОК ПУАССОНА
93
cos2 b cos21 - sin2 b sin21 cos2 g -
+ 2 sin b cos b sin I cos I cos g).
Легко видеть, что функции Fз, F4, .. . равны нулю, т. е. мы установили
существование интеграла
F = Fq + wF\ + w2F2,
который является интегралом Ковалевской (см., например, [68]). Записывая
F через р, q, г (компоненты вектора угловой скорости по осям Ox, Оу, Oz)
и углы Эйлера, находим
I) ^0 = -§Г (l - -§5-) = - J- sin4 Ъ = {р-- q2)-,
Н) Fx =----------j- [(р2 - q2) sin 0 sin г|з + 2pq sin 0 cos г|з],
III) F2 =^(1-cos20) = ^Jsm20.
Используя обозначения Лейманиса [68]
(я = ivxaA~\ ? = sin г|з sin 0, tj = cos г]) sin 0, ^ = cos
0,
получаем
F = (P2 - q2 - 2^)2 + (2pq - 2^)1
Таким образом, для любого значения w (которое здесь играет роль е) найден
интеграл, правда, при условии А - В = 2С. При более общих условиях
Арнольд [3] показал, что эта система интегрируема для достаточно малых
значений w, т. е. он показал устойчивость быстрого волчка.
7. Решение задачи Пуанкаре с помощью скобок Пуассона. Уничтожение
секулярных членов в дополнительных интегралах
В этом- параграфе мы хотим показать, как решить задачу Пуанкаре,
