Методы теории возмущений для нелинейных систем - Джакалья Г.Е.О.
Скачать (прямая ссылка):
решения в виде рядов по степеням этого параметра определяется тем,
насколько решение близко к особой точке (равновесию) системы, и тем,
является ли эта особая точка устойчивой. Свойства систем такого рода
сначала изучались Бирк-гофом в связи с поведением отображений,
сохраняющих площадь, в окрестности неподвижной точки. Сравнительно
недавно важные результаты в этой области получили Мозер, а также Гельфанд
и Лидский [35]. Типичный пример изменения характера разложения по
параметру в окрестности равновесной точки дает ограниченная задача трех
тел, в которой есть пять частных решепий Лагранжа и Эйлера. Как было
недавно показано в работе Себехея и др. [100], такие разложения могут
проводиться по степеням е1/3, е1/2 или е.
Метод последовательных приближений Макмиллана [71, 72], описанный во
втором параграфе, легко можно свести к методу усреднения для уравнения
(2.2.6) или для этого же уравнения, но записанного в виде ряда (2.2.7).
Такой метод был предложен Чезари и несколько позже Хейлом. Появление
секулярных членов в решении, как было показано в примере, приведенном в
начале § 3, привел Линдстедта к изучению методов усреднения. В некоторых
задачах неудачный выбор опорного решения влияет на успех использования
метода последовательных приближе-
') О регуляризующих преобразованиях Леви-Чивита и Кустаанхеймо - Штифеля
см. [13*] (прим. перев.).
128
ГЛ. II. МЕТОДЫ ТЕОРИИ ВОЗМУЩЕНИЙ
ний, аналогично тому, как плохой выбор системы координат влияет на
интегрируемость (разделимость движения) системы. Гамильтонизация системы,
предложенная впервые Дираком, применима практически только в тех случаях,
когда система (2.4.5) имеет постоянные коэффициенты (если не
рассматривать исключительных случаев), т. е. когда функции gt линейны
относительно компонент х, вектора х и имеют постоянные коэффициенты. Во
всех остальных случаях определение опорного решения из (2.4.5) может
представлять собой очень трудную задачу. Что касается метода Пуанкаре
(который, кстати, называл его методом Линдстедта), то он был назван
методом Цейпеля главпым образом из-за работы Цейпеля об астероидах [105],
для которых Брауэр [11] получил эффектпвпое решение при решении задачи об
искусственных спутниках Земли. Начиная примерно с этого времени и
появились в полной мере в небесной механике методы усреднения. Интересно
отметить, что до этого времени метод Пуанкаре использовался исключительно
в теории нелинейных колебаний, в том числе и в работах советских авторов.
Уравнение (2.4.8) также указывает на то, что за исключением операции
усреднения все эти методы в консервативных системах сводятся к решению
уравнения Гамильтона - Якоби с помощью последовательных приближений.
Главный недостаток этих методов, заключающийся в неявной связи между
старыми и новыми переменными, которая осуществляется производящей
функцией W (см. уравнение (2.4.10)), и в задаче обращения этой связи,
то'лько недавно был преодолен введением рядов Ли. Утверждение о том, что
если среднее условно-периодической функции равно нулю, то эта функция
ограпичена, может быть проверено, если потребовать выполнения некоторого
условия иррациональности между базисными частотами coi, ..., со"
соответствующих рядов Фурье; точнее, нужна выполнимость условия
п п -<т
2 PjMj >к 2>Pj
j=i 3 = 1
где К - некоторая положительная постоянная, а о > п-1. Если эти условия
не выполнены (они могут нарушаться только на множестве частот со нулевой
меры), то интеграл от условнопериодической функции с нулевым средним
может не быть ограниченным из-за наличия малых делителей; этот вопрос
обсуждался Мозером в теории условно-периодических движений.
Если исходить из чисто геометрической точки зрения, то Мозер [78] сделал
очень важный шаг при изучении сохраняющих площадь отображений, близких к
тождественным (см. (2.4.12)). На его работу очевидное влияние оказали
труды Биркгофа и Зигеля.
10. ЗАМЕЧАНИЯ
129
Выкладки, включающие в себя действительные вычисления, следующие из
(2.4.16), на практике оказываются очень утомительными и невероятно
длинными. Тем не менее, недавнее введение в практику научных исследований
автоматических буквенных алгоритмов для быстродействующих электронных
вычислительных машин уничтожает большинство практических трудностей.
Важные результаты здесь получили Ковалевский [60], Депри н Ром [28-31] в
приложении к типичным задачам небесной механики1). Аналогичные работы из
области нелинейной механики и теории цепей нам неизвестны.
Понятие вырожденных систем, введенное Арнольдом, к сожалению, является
очень общим; тем более важно исследовать их поведение при введении
возмущеннй. Существенной геометрической трудностью при этом является то,
что размерность инвариантного многообразия невозмущенной задачи ниже
размерности многообразия для возмущенной задачи2). Кроме того, линейные
возмущенные системы крайне чувствительны к появлению различных
резонансных ситуаций и весьма трудны для описания. Внимание, которое
