Методы теории возмущений для нелинейных систем - Джакалья Г.Е.О.
Скачать (прямая ссылка):
|g=g(q;) являются периодическими или условно-периодическими функциями т,
то интегрирование уравнений (2.9.36) представляет собой нетривиальную
задачу. Следовательно, желательно произвести такое разложение функций
Л(1), чтобы все fj (I) были линейными.
Уравнение Ван дер Поля. В качестве примера рассмотрим уравнение
я + е(1 - х2)х х ~ О,
124
ГЛ. II. МЕТОДЫ ТЕОРИИ ВОЗМУЩЕНИЙ
которое можно записать так
хг = х2, х2 - - хг- e(l - xf)x2. (2.9.36)
Здесь мы имеем
= = Л" = Л2> = о,
Л" = - в (1 - *?) *" fi> = fi' = • • • = fp = • • • - 0.
Дополнительная система
имеет решение вида
fi = occos(t + ?1), %2 =-asin(T + j}), (2.9.37J
где а, р - скалярные постоянные. Уравнения первого приближения принимают
вид
dx
или
dx
dT^^
-----------T[l) + 8 [1 - a2 cos2 (т -f- Р)] a sin (т + Р) = фУ\
d2T[l)
di2
+ т\1) = е
(* - т) a sin (т + P) - T sin (Зт + 3P)] ~
-IT
(!)
Для того чтобы не появилось секулярных членов, в уравнении для Т[Х)
должен отсутствовать член sin(T + [5). Один из возможных способов выбора
произвольных функций описывается формулами
^l>+r(11)=-ejsin (Зт + ЗР),
> гп(1) _ " (л "
d%
(о _ М0 ф2 -~1г
+ Фг^ = е (1 - j j a sin (т + р),
9. НЕГАМИЛЬТОНОВЫ СИСТЕМЫ И ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛИ
125
так что
фк"--------e[l - 4-(Е' + Й)] 5*.
и, следовательно,
Таким образом, уравнения в новых переменных в первом приближении имеют
вид
Легко проверить, что уравнение для получается из уравнения для ti при
замене - li, что объясняется сделанным
и, следовательно,
а знак + или - надо выбирать в зависимости от знака постоянной к, т. е. в
зависимости от начальных условий так, чтобы величина и2 была
положительной.
При е •> 0 мы получаем асимптотическое поведение:
что описывает хорошо известное демпфированное движение по направлению к
фокусу. Если г < 0, то и2-*-4 при t~+-oo и мы имеем предельный цикл в
уравнении Ван дер Поля. То, что первое приближение (по г) дает
возможность получить полную ин-
то найдем, что
и2-*-0 при i-"- оо,
126
ГЛ. II. МЕТОДЫ ТЕОРИИ ВОЗМУЩЕНИЯ
формацию об асимптотическом поведении системы, объясняется тем, что в
любом приближении уравнения для |i, ?2 имеют тот же вид, что и уравнения
первого приближения, т. е.
Ёг = [1 + 8'2/2 {и2) + е4/4 ("2) + • • • 1
]ь,
-sl-j + e2g 3 (u2) + s4?6 (г^2) + ...
= (?2^-?1,
так что описанные выше асимптотические свойства сохраняются
10. Замечания
Интегрируемость динамической системы является весьма спорным понятием.
Некоторые считают, что по отношению к гамильтоновым системам разделимость
уравнения Гамильтона - Якоби может служить достаточно хорошим
определением интегрируемости, хотя это и не является общим мнением. К
сожалению, теорема Штеккеля не дает никаких указаний на то, как в
действительности надо строить систему координат, чтобы разделить
уравнение. Хорошо известно только, что если есть п независимых интегралов
у системы с п степенями свободы, то, в соответствии с результатами
Арнольда, инвариантное многообразие состоит из торов, на которых в общем
случае движение будет условно-периодическим. Существование таких
многообразий для некоторого класса систем изучал также Дилиберто, который
называл их периодическими поверхностями. Для негамильтоновых систем этот
вопрос еще более сложен, хотя, как показывает пример в конце главы V,
здесь можно думать об обобщении процедуры нормализации Биркгофа в случае
возмущенного движения гармонических осцилляторов. В действительности
многие задачи соответствующим выбором переменных в времени могут быть
сведены к задаче о гармонических осцилляторах. Например, ньютоновская
задача двух тел использованием преобразования Леви-Чивита [69]
х = и2 - v2, у = 2 uv совместно с преобразованием времени
dx - dtjr
сводится к простому гармоническому осциллятору. Другие силовые поля
недавно были рассмотрены в работе Джакальи и др.
10. ЗАМЕЧАНИЯ
127
[42, 43], где использованы методы, введенные Кустаанхеймо [62]').
Ниже мы также придем к изучению интегрируемости системы в окрестности
устойчивого положения равновесия - область, в развитие которой много
усилий вложили Зигель и Мозер, так же как и многие другие авторы. Хотя
сходимость методов нормализации установлена быть не может, из результатов
Конто-пулоса [17-23], Барбаниса [5] и Бозиса [9, 10] ясно, что при
достаточно общих обстоятельствах могут существовать другие интегралы (или
квазиинтегралы) как в общих, так и в резонансных системах. Очевидность
существования интегралов была также установлена методом поверхностей
сечения в работе Хенона и Хейлеса [52, 53].
Что касается методов последовательных приближений, то найти решение
системы в виде ряда можно любым методом; при этом может быть достигнута
сходимость этих методов на достаточно малом интервале времени. На
интересующий вопрос можно ответить, используя простой метод итераций
Пикара, что, по существу, и было сделано во многих работах, особенно в
работах, использующих численные расчеты на ЭВМ.
Для заданной системы, зависящей от малого параметра, способ поиска
