Методы теории возмущений для нелинейных систем - Джакалья Г.Е.О.
Скачать (прямая ссылка):
пли
= Я,),
й=1 °Уц h=i 0уп
откуда следует, что если пренебречь произвольной функцией переменных х,
то Fг также будет 2я-периодической функцией относительно г/i,-. . ., уп-
Однако в общем случае утверждение о 2я-периодичносги по угловым
переменным г/i, ..., уп функции Fp является неверным. Оно остается
справедливым только при выполнении очень специальных условий. Наиболее
важный пример такого рода - это когда Н представляется рядами из
косинусов углов уи . . ., уп. В этом случае легко видеть, что F также
представляется рядами из коси-
88
ГЛ. II. МЕТОДЫ ТЕОРИИ ВОЗМУЩЕНИЙ
нусов. Следовательно, любая функция, получаемая при вычислении скобок
Пуассона, будет выражаться через ряды из синусов п не может содержать
постоянных членов. В этом легко убедиться, если написать выражение
и обнаружить, что в каждом слагаемом одни сомножитель есть ряд из
синусов, а другой - ряд из косинусов.
Аналогичное утверждение верно, когда Н представляется рядами из синусов.
В задачах небесной механики, в которых рассматриваются ньютоновские силы,
эти условия часто бывают вы-полнены.
Сходимость такого метода последовательных приближений была доказана
Уиттекером [102] для некоторого специального класса задач с двумя
степенями свободы, а именно: для движения в окрестности положения
равновесия в общем эллиптическом случае при рационально независимых
частотах нормальных колебаний Ю], (02 и в достаточно малой окрестности
равновесия. Хотя Уиттекер считал, что для большинства случаев имеет место
сходимость, он, тем не менее, указал на факт, что такие дополнительные
интегралы в общем случае не могут быть равномерно сходящимися для любого
значения независимой переменной и по отношению ко всем значениям
постоянных интегрирования или параметрам задачи из любого интервала. Это
последнее утверждение очевидно следует из того факта, что по мере того,
как отношение g>i/g>2 изменяется от иррационального значения к некоторому
рациональному, ряды, определяющие дополнительные интегралы, принимают
совершенно другой вид. Аналогичная ситуация имеет место при применении
метода усреднения по отношению к типу движения, определяемого
гамильтонианом Н0 (опорное решение). При нелинейных колебаниях нормальная
форма зависит от начальных условий и, следовательно, кажется естественным
заключить, что, насколько это касается начальных условий, сходимость в
любой области фазового пространства невозможна. В действительности
аналогичные соображения лежали в основе теоремы Пуанкаре о расходимости
рядов в небесной механике [91].
Разумеется, существует один случай, при котором вопрос
о сходимости даже не встает: очевидная ситуация, когда ряды
обрываются. Даже если интеграл существует в виде полинома относительно е,
остается вопрос о том, каким должно быть нулевое приближение Fq. Разница
между получением рядов (в конечном счете расходящихся) и полинома может
зависеть от выбора функции F0(x). Если бы был найден общий принцип
нахождения таких функций, то мы могли бы иметь критерий существования пн-
П
6. НОРМАЛИЗАЦИЯ БИРКГОФА
89
тегралов, являющихся полиномами относительно некоторых физических
параметров. Рассмотрим, например, случай
Н = Н0{х) + Н1{у,х),
достаточно общий в задачах теории возмущений. В этом случае уравнение,
определяющее функции Fр, имеет вид {р=. 1, 2, 3, ...)
(FJ,, Н0) + (Fp-U Н]) ==.0.
Очевидно, если Fk (к S5 р) тождественно равны нулю, то отсюда следует,
что F F0 -f F{ -f . .. -|- Fгде
(Fq, Н0) - 0, (Fh Но) + (F0, Щ) =.0,
(F2, Но) + (Fh Щ) =.0,
(FP~\, Но) + (FP-2, Нi) -.0,
(Fp.u Н\) = 0.
Последнее условие подразумевает, что функция Fp-\ является интегралом
системы уравнений, соответствующей гамильтониану Hi. Это есть необходимое
условие того, что интеграл F является полиномом степени р - 1
относительно е. Ясно, что для этого достаточно, чтобы функция Fp-i была
равна Н\ или являлась функцией от Н1.
Например, такая ситуация имела место в случае интегрируемости Ковалевской
для движения симметричного волчка под действием гравитационного поля. Для
изучения этого движения введем переменные Андуайе [2]
L=.p$ = Gcosb, рв = Gsin 6-sin (I - г|?), pv - H-G cos I,
где cp, г|з, 0 - углы Эйлера, определение которых можно найти, например,
в книге Голдстейна [44], G - величина кинетического момента, I -
наклонение плоскости р (нормальной к вектору кинетического момента) к
инерциальной экваториальной плоскости, Ъ - наклонение главной
инерциальной экваториальной плоскости тела к плоскости р, а I - угол
между связанной с телом осью Ох и линией пересечения плоскости Оху,
связанной с телом, с плоскостью р. Пусть h - угол между инерциальной осью
ОХ и линией пересечения плоскостей OXY и р, a g - угол между линиями
пересечения плоскости р с плоскостями OXY и Оху. Тогда переменные L, G,
Я, I, g, h будут канонически сопряженными (см., например, [31]), и
кинетическая энергия имеет вид
жо = -§- (4sirl21 + irсо(r)21) ^ - L2) + А ь'г'
90
ГЛ. II. МЕТОДЫ ТЕОРИИ ВОЗМУЩЕНИЙ
