Методы теории возмущений для нелинейных систем - Джакалья Г.Е.О.
Скачать (прямая ссылка):
используя скобки Пуассона и, в то же время, как исключить секулярные
члены при построении дополнительных интегралов. Главным образом мы будем
иметь дело со случаем вырождения, при котором главная часть гамильтониана
зависит только от одной переменной действие, а возмущения 2я-перио-дичны
по угловым переменным. Как мы уже видели, в этой сп-
или
kxl
F, (1
94
ГЛ. II. МЕТОДЫ ТЕОРИИ ВОЗМУЩЕНИЙ
туации при введении рядов в методе Пуанкаре возникают некоторые
трудности, которые привели Цейпеля к уже описанному обобщению метода. Как
мы уже видели, с помощью метода Пуанкаре строятся п формальных
интегралов, нулевыми приближениями которых являются переменные действие,
являющиеся постоянными в невозмущенном движении. Оставшиеся п интегралов
по существу являются постоянными интегрирования для угловых переменных,
если все они в конце концов исключены из гамильтониана. Процесс, который
мы здесь собираемся обсуждать, по существу совпадает с процессом,
введенным Уиттекером, хотя исключение секулярных членов было впервые
проведено в работе Джакальи [37].
В обычных обозначениях рекуррентные соотношения имеют вид
(Я0, Рк) = - 2 (Hh-h Fj) = - (у, х), (2.7.1)
?=о
где функция тр* известна, когда все (к - 1) приближений известны. При' к
= 0 гр* = 0. Полагая также Н0 = Н0 (х), имеем
(2Л.2)
i=i yi
с условием, что в каждой функции Fh(y, х) не должно быть
о , о
секулярных членов в том смысле, что замена yj = <*>jT + г/j должна давать
lim Fh (у (т), х) < оо. (2.7.3)
X->">
Однако функции г|54 получаются в результате перемножения
тригонометрических рядов, т. е. они должны содержать члены, которые
являются функциями только х, так что при интегрировании уравнений (2.7.2)
условия (2.7.3), вообще говоря, не будут выполнены. Нежелательное
секулярное поведение может быть уничтожено введением описываемой ниже
процедуры усреднения. Мы рассмотрим случай вырождения высокого порядка,
когда функция Н0 зависит только от одного импульса, т. е. Но = Но(х\).
Аналогично процедуре Пуанкаре мы попытаемся получить интегралы, которые
при Н = Но равны импульсам, а в общем случае
F] = Xj + e^Fj(y, х) (2.7.4)
при / = 1, 2, 3, ... При этом остается открытым вопрос о том, приведет ли
такой выбор к интегралам
х] = Xj -f &Wj (у, х),
(2.7.5)
7. РЕШЕНИЕ С ПОМОЩЬЮ СКОБОК ПУАССОНА 95
определяемым методом Пуанкаре. Так как по предположению F} и Xj являются
интегралами, то функции
FJ~xi = B(AFJ~WJ)
также будут интегралами. Теперь AFj и W} не являются интегралами (так как
х,-- не интегралы), так что AFj= W). Отсюда следует, что, если процедура
сходится для е из некоторого интервала, то оба метода приведут к
одинаковому результату, хотя использование скобок Пуассона дает явный вид
решения и дает некоторую дополнительную информацию. Следовательно, мы
положим
F = x1+Fr (у, х) + F2 (у, х) + ..., (2.7.6)
II = Я0 (*0 + Н1 (у: х) + Н2(у,х) + ..., (2.7.7)
где II удовлетворяет упомянутым выше условиям. Уравнение для приближения
первого порядка (к=1), получаемое из (2.7.1), дает
1 dVi дУ\ '
так что
=------V нг р (У* х) + •¦¦'Уп, х), (2.7.8)
где Нip определяется операцией выделения из Hi среднего по у\. В общем
случае
т
fp (У, х) = / (у, ж) - lim jr\f (t, у2, уп, х) dt,
Т-+ос 1 J
или для рассматриваемого случая
2я
fp {у, х) = 1(У'х)-Тп\ f У2' • • • 'х)dyi-
о
Индекс s указывает на отсутствие переменной у\, а функция Fu, очевидно,
произвольна. Приближение второго порядка определяется из уравнения
96
ГЛ. II. МЕТОДЫ ТЕОРИИ ВОЗМУЩЕНИЙ
где я['2Р п ip2s - известные функции, имеющие вид
Tl\dXidyi'p \dVi dxi ^ = 2[(эг^)8-
дН, дуг '
dHt dF,
ду. dx.
Если функция F2 не должна содержать секулярных членов, то *|)2s должна
уничтожаться, что определяется условием
¦Фгз = iHls, Fls)
1 5wi Г 0)2 gXl [l
2 (ш?4)2 dsci \ дух
Н2
0,
а так как последний член в правой части этого условия равен нулю, то
функция Fu определяется уравнением
(His, Fu) = 0.
(2.7.9)
для которого надо найти какое-нибудь простейшее частное решение в этом
случае Fu = 0. Для простоты рассмотрим случай
Н = Н0 + 11и (2.7.10)
так что приближение второго порядка определяется уравненнем
9(r)1 Г д "2
П. ip
а так как
д_
дУ1
_________ТТ 2
то отсюда следует
F -
1 2Р -
(со
F 2 = F2v + F2s,
?)21 (^ls'
Hip) dy1
ди,
2(со")3
ЧН1Р)Р, (2.7.11)
где функция F2s (i/2, ..;Уп,х) произвольна. В случае (2.7.10) для
приближения третьего порядка имеем
где
а)?^=(Я1.^) = фзр + ф3в.
= (Ни, F2s) + (Нь, Ftp),,
7. РЕШЕНИЕ С ПОМОЩЬЮ СКОБОК ПУАССОНА
97
и учитывая условие грз* = 0, определяем произвольную функцию F2s из
соотношения
2я
(Я18, F2s) = 2я ^ ^2р) ^J/i Ф38 (i/a 1 • • • 1 Уп ' 1
о
где <?3s - известная функция.
Характеристики однородных уравнений в частных производных для Fb, ..Fks
одинаковы при любом к и определяются формулами
dy2 __ dyn _ dx2 ______________dxn
ЭЯ1о дН1о ML ЭЯ,
3s Is Is Is
d%,
дхп ду2 dy
n
где T - вспомогательный параметр. Таким образом, решения для Ff,s (к - 1,
2, ...) будут зависеть от решения такой системы уравнений:
