Физика. Теория. Методика. Задачи - Демков В.П.
Скачать (прямая ссылка):
взаимодействия такого шара с частицей массой т, находящейся внутри шара
на расстоянии а
от его центра, равна (см. формулу (5.5)) Рнс. 5.9
Fi= У
т М1
т р % ж /?,
а = 4/з у т р % а
(1)
ч 'Ч
и направлена вдоль прямой АО, соединяющей частицу с центром шара.
Представим сплошной шар в виде двух тел: шара радиусом R2 и массой М2,
расположенного на месте полости (на рис. 5.9 он не заштрихован), н
оставшейся части, т.е. шара с полостью (на рисунке он заштрихован). Тогда
силу можно представить в виде векторной суммы снл
ветственно, причем сила F2 ?2 = У
равна
т М2
r\
т р4А к R2 --у----j----b = 4Aympnb
R-!
(2)
и направлена вдоль прямой АО, соединяющей частицу с центром полости.
Поскольку силы , Р2 и F образуют замкнутый треугольник (рис. 5.10), то
сила гравитационного взаимодействия шара с полостью и
частицей ______________________
?=?,-?2; F = '1f? + F2 -7 Fi F2 cos a, или с учетом (l)-(2)
(3)
(4)
F= 4hymp% 'Ja2 + b2-2abcosa, где a - угол между векторами нР2.
Применив теорему косинусов к треугольнику Д0/)0'(рис. 5.10), получим
r = 'la2 + b2-2abcosa.
Из (3) с учетом (4) находим
F=4Aym pit г.
• Ответ: F=4fyym риг.
5.8. С какой силой притягивается к Земле тело массой т, находящееся
внутри Земли на расстоянии г от ее центра? Радиус Земли R3.
183
5.9. Какую работу нужно совершить, чтобы переместить т = 1 кг вещества
из центра Земли на ее поверхность? Радиус Земли /?3 = 6400 км. Плотность
Земли считать постоянной.
5.10. Считая Землю однородным шаром, определить высоту над поверхностью
Земли, на которой ускорение свободного падения составляет а = 81%
ускорения свободного падения у ее поверхности. Радиус Земли Л3 = 6400 км.
Влияние Солнца, Луны и других небесных тел не учитывать.
• Решение. У поверхности Земли ускорение свободного падения (см.
формулу (5.12)) равно
М3
&0-У "2 '
Л3
а на высоте h над ее поверхностью (см. формулу (5.13)) -
g=g°'(R3 + hf ¦
Поскольку g=ag0, то
= А = Лз{^-'}^Пкм.
• Ответ: Л = /?3 {- 1J" 711 км.
5.11. Считая Землю однородным шаром, найти ускорение свободного падения
на высоте над поверхностью Земли, равной радиусу Земли.
5.12. Во сколько раз ускорение свободного падения вблизи поверхности
Земли больше, чем вблизи поверхности Луны? Масса Земли в 81 раз больше
массы Луны, а радиус Земли в 3,75 раза больше радиуса Луны.
5.13. На экваторе некоторой планеты тела весят вдвое меньше, чем на
полюсе. Средняя плотность вещества планеты р = 3000 кг/м3. Определить
период обращения планеты вокруг собственной оси.
• Решение. На полюсе планеты на тело действуют две снлы,
уравновешивающие друг друга: сила тяжести mg и сила реакции опоры Йп
(рис. 5.11). При этом вес тела, равный по величине силе реакции, будет
равен силе тяжести:
Р = у
ГП 1УП I "2 '
А
где т - масса тела; М и R - масса и радиус планеты.
На экваторе результирующая сил тяжести mg и реакции опоры Д^э сообщает
телу нормальное ускорение а" = и2//?, где и - линейная скорость тела за
счет вращения планеты вокруг собственной оси.
Записав уравнение движения тела в проекции на ось, направленную по
нормали ~п к
траектории, 2
яс
с учетом выражения для ускорения свободного падения
М
184
получим
р =дг _ у !"М. _ Г3 "э ' ^2
По условию задачи /*" = 2 Следовательно,
m о
R
тМ . тМ , /я о
1'7i"2,73~2'
Л
или
4м
U='УТ"5
2 Л
ннем
Поскольку линейная скорость и связана с периодом обращения Г планеты
соотноше-
2лЯ
то
7._л/8т12/?3 у М
Выразив массу планеты в виде М= р К= 4/з л р Л3, получим
Г = V 6 л/у р " 9,7-Ю3 с.
• Ответ: Т= V 6 л/у р * 9,7-103 с.
5.14. Какой продолжительности должны быть сутки на Земле, чтобы тела на
экваторе были невесомы? Радиус Земли Л3 = 6400 км.
5.15. На какой высоте h над поверхностью планеты вес тела на полюсе равен
весу тела на экваторе вблизи поверхности? Планета имеет форму шара
радиусом R и плотностью р. Период обращения вокруг собственной оси Т.
5.16. Тело находится на поверхности Земли на широте ф = 60°. Определить
угол а, который составляет направление силы реакции N, действующей на
тело, с направлением радиус-вектора, проведенного из центра Земли в
точку, где расположено тело (рис. 5.12, а). Радиус Земли R3 = 6400 км.
Рис. 5.12
• Решение. При вращении Земли иа тело действуют сила тяжести m~gQ и
сила реакции $ (рис. 5.12, б), результирующая которых обеспечивает
нормальное ускорение
5 4 л2 р.
ап = о>г------- R3 cos q>,
Т3
где г = Л3 cos ф - радиус окружности, по которой вращается тело вместе с
Землей; Т3 = 1 сутки = 86400 с - период обращения Земли вокруг
собственной оси.
185
Запишем уравнение движения тела в проекциях на оси ОХ и OZ сопровождающей
системы отсчета:
4 тс2
ОХ: тап = т-j- R3 cos ф = m g0 cos ф - Л^, (1)
OZ: 0 = -mg0s^ + Nz, (2)
где Nxh Nz- проекции силы $ на соответствующие оси.
Выразив Nx и Nz из (I) - (2)
4 71
Nx = m g0 cos ip -m -j- R3 cos ф, Nz = m g0 sin (p,
T3
получим
. NZ rng0sin<? tg<p
tg (a + ф) = ^- =----------------------2----------------=--------;
m g0 cos 4>-m -j- R3 cos ф 1-j- R3
