Физика. Теория. Методика. Задачи - Демков В.П.
Скачать (прямая ссылка):
u = ^ °гор + иверт'
где игор = uD cos а, иверт = uD sin a - g t - проекции вектора скорости
на горизонтальное и вертикальное направления соответственно (см. §1).
Поскольку в верхней точке М траектории проекция вектора скорости Tjm
шарика на вертикальное направление равна нулю, то
2 R - г 12
°м = игор = % cos " = з ~ * 3 * (R - ГУ¦
2 [2---------
• Ответ: им = ~ ~~ У ^g(R -г).
4.28. Шарик может скользить по гладкому желобу, изображенному на рис.
4.17. С какой минимальной высоты h нужно пустить шарик, чтобы он не
покинул желоб по всей его длине? Радиус закругления желоба R.
168
Рис. 4.17 Рис. 4.18
4.29. Шарик начинает скользить с высоты h по гладкому желобу,
переходящему в полуокружность радиусом R=x/ih (рис. 4.18). Найти скорость
шарика в наивысшей точке его траектории (после отрыва от желоба).
4.30. Шарик может скользить без тре-
ния по внутренней поверхности желоба, выполненного в виде двух
сопряженных в точке А окружностей радиусами R и 2R (рис. 4.19). В точке В
шарику сообщают горизонтальную скорость vj0 , после чего он движется, не
отрываясь от поверхности части желоба радиусом R. На какую высоту
относительно точки А поднимется шарик после отрыва от части желоба
радиусом 2/?? Рис 4 19
4.31. На невесомой нерастяжимой нити висит груз массой т. Нить с грузом
отклонили от вертикали на угол а0 и отпустили. По какому закону меняется
сила натяжения нити в зависимости от угла ос между нитью и вертикалью?
• Решение. При движении груза на него будут действовать сила тяжести
mg и сила натяжения нити 7* (рис. 4.20). Поскольку сила 7*
перпендикулярна траектории груза, то она работы не совершает. Поэтому
энергия груза меняться не будет.
Если нулевой уровень отсчета потенциальной энергии выбрать на уровне
положения равновесия груза, то в начальный момент груз будет иметь
энергию
E^mgH,
а в положении, когда нить составит угол а с вертикалью,
I- , ии'
E2 = mgh + -,
где и - скорость груза в этот момент.
На основании закона сохранения механической энергии
или
ГГ I •
mgH-mgh+-
Выразив высоты Я и h через длину нити / и углы а и а0 Н = Ц 1-cosa,,), А
= /(1-cos а),
169
получим
и2 = 2 g I (cos a - cos a"). (1)
При движении по окружности радиусом / груз приобретет нормальное
ускорение
_ и2 ап i •
Из уравнения движения груза, записанного в проекции на ось, направленную
по нормали п к траектории, 2
ш и
-- = Т-m geos a
находим
u2_/(7'-mgcosa) (2)
m
Приравняв правые части уравнений (1) н (2)
. f/ \ l(T-mg cos a)
2 g I (cos a - cos йл) = &------L,
m
приходим к ответу:
T= m g (3 cos a - 2 cos a0).
Следовательно, сила натяжения максимальна при a = 0, т.е. при прохождении
грузом положения равновесия, и минимальна в крайних точках.
• Ответ'. Т= тg(3 cos a - 2 cos a0).
4.32. На легкой нерастяжимой нити, прочность которой Гтах = 10 Н,
подвешен груз массой т = 0,5 кг. Нить с грузом отклоняют от вертикали и
отпускают. На какой максимальный угол можно отклонить нить с грузом,
чтобы при последующем движении груза она не оборвалась?
4.33. Вблизи вертикальной стены на тонкой нерастяжимой нити длиной /
подвешен шарик массой т. Нить с шариком отклоняют в плоскости,
параллельной стене, до горизонтального положения и отпускают (рис. 4.21).
На каком наименьшем расстоянии под точкой подвеса нужно вбить в стену
гвоздь, чтобы нить, налетев на него, порвалась? Нить выдерживает силу
натяжения не выше Гтах. стены на тонкой нерастяжимой нити длиной /
подвешен шарик. На расстоянии а под точкой подвеса в стену вбит гвоздь
(рис. 4.21). Нить с шариком отклоняют в плоскости, параллельной стене, до
горизонтального положения и отпускают. На какую максимальную
(относительно гвоздя) высоту поднимется шарик при движении?
435. На тонкой нерастяжимой нити подвешен шарик. Нить с шариком отклоняют
до горизонтального положения и отпускают. В каких точках траектории
ускорение шарика направлено горизонтально?
• Решение. При решении данной задачи воспользуемся результатом,
полученным в задаче №4.31. Положив в соотношении
Т = т S (3 cos a - 2 cos Oq)
"о = '/4 л, найдем силу натяжения нити в зависимости от угла а между
нитью и вертикалью в виде
r=3mgcosa. (1)
170
а
g
I
а
н
Рис. 4.21 4.34. Вблизи вертикальной
m
mg
Рис. 4.22
В положении, когда ускорение а шарика направлено горизонтально (рис.
4.22), результирующая сип в проекции на вертикальное направление равна
нулю:
Т cos а - m g = 0. (2)
Подставив силу натяжения ииги из (I) в (2)
3 mg cos a cos а - m g = 0,
получим
cosa = l/>/J; а = 54,7°.
Следовательно, ускорение шарика будет направлено горизонтально в тех
точках траектории, где угол отклонения нити от вертикали равен a = 54,7°.
• Ответ: а = 54,7°.
4.36. На тонкой нерастяжимой нити подвешен шарик. Нить с шариком
отклоняют до горизонтального положения и отпускают. В каких точках
траектории ускорение шарика направлено вертикально?
4.37. Шарик, подвешенный на невесомой нерастяжимой нити, качается в
вертикальной плоскости так, что его ускорения в крайних и нижнем
