Физика. Теория. Методика. Задачи - Демков В.П.
Скачать (прямая ссылка):
при М>>т можно считать неподвижным (см. §4)
Простейшим движением частицы т в этом случае является равномерное
движение по окружности, центр которой совпадает с геометрическим центром
тела М (рис. 5.3). На тело т действует только сила тяготения (5.1),
направленная к центру окружности. Записав уравнение второго закона
Ньютона для тела массой т в проекции на направление к центру окружности и
со-Рис. 5.3 кращая на т, получим
178
an = -^r = y-^> (5.21)
где о - скорость тела т, г - радиус окружности. Следовательно, скорость
тела т
о = Vy М/г. (5.22)
Полученная формула для скорости о позволяет установить соотношение между
радиусом орбиты г и периодом Т обращения по ней. Поскольку тело m
движется равномерно, время одного оборота
Т-Ш. (5.23)
о
Используя (5.22), получаем
= (5.24)
у М
Мы видим, что квадраты периодов обращения пропорциональны
кубам радиусов орбит. Это соотношение называется третьим
законом
Кеплера, по имени немецкого астронома И. Кеплера, наблюдавшего движения
планет и открывшего эмпирически в начале XVII столетия основные законы
движения двух тел под влиянием гравитационного взаимодействия. Эти законы
сыграли важную роль в открытии Ньютоном закона всемирного тяготения.
Полная энергия частицы массой т (тело М считается неподвижным)
e = JSSL- (5.25)
не меняется с течением времени (Е = const). Используя соотношение (5.21),
получим, что кинетическая энергия
" т о2 т М 1
J = -^- - у -г- = - - и,
2 2 г 2
а полная энергия
Е = _Т=_Л^ = 1и=_ уЖК_ (5.26)
Мы видим, что при движении по окружности полная энергия частицы
отрицательна (рис. 5.4). ?
С помощью полученных выше фор- 0 мул можно, в частности, определить
скорость спутника Земли массой т, движущегося по круговой орбите на
высоте h от поверхности Земли. Подставив ускорение свободного падения на
поверхности Земли g0 в формулу (5.22) с учетом, что r = R3 + h, получим
Рис 5 4
о (Л) = V gQ R3 /(1+Л/Яз). (5.27)
Из (5.27) следует, что скорость спутника возрастает при переходе его на
более низкую орбиту. На высотах h<<R3 скорость спутника
179
и (А -" 0) = V g0 /?з " 8-103 м/с. (5.28)
Эту скорость называют первой космической скоростью о,.
Второй космической скоростью о2 называется такая минимальная начальная
скорость ракеты на поверхности Земли, при которой ракета, запущенная
вертикально вверх, не возвращается обратно на Землю из-за гравитационного
притяжения со стороны Земли (при этом предполагается, что влияние других
небесных тел на ракету пренебрежимо мало). Дело в том, что скорость
ракеты по мере ее удаления от Земли уменьшается за счет земного
притяжения и, если ракета останавливается на любом конечном расстоянии от
Земли, она обязательно к ней притянется и вернется на Землю. Поэтому
ракету надо запустить с такой скоростью, чтобы она остановилась там, где
земное притяжение уже не действует, т.е. при г -> оо (F = у т М3/г2 -> 0
при г -> оо). Используя закон сохранения энергии (5.25) и приравнивая
энергию ракеты на поверхности Земли (при этом о = о2 и г = R3) энергии
при г -> оо (при этом о = 0и U = -у т М3/г -> 0), получаем
т о, т Mr, т о,
E = -^-y-^- = -^L-mgQR3 = 0. (5.29)
Следовательно, _______________ 3
о2 = V 2 g0 R3 = <2 о, = 11,2103 м/с. (5.30)
Рекомендации по решению задач
Задачи этого параграфа можно разделить на две группы.
Первая группа включает задачи на непосредственное применение закона
всемирного тяготения и вытекающих из него следствий.
При решении таких задач следует помнить, что:
1. Формулы для силы гравитационного притяжения (5.1) и потенциальной
энергии взаимодействия (5.2) справедливы только для двух материальных
точек или тел, имеющих сферическую форму, при условии, что этн тела не
пересекаются.
2. Сила и потенциальная энергия взаимодействия между материальной
точкой и телом сферической формы зависит от расположения частицы
относительно тела: если частица находится вне тела, сила и потенциальная
энергия взаимодействия определяются формулами (5.1) и (5.2); если внутри
тела - формулами (5.5) и (5.8); если на поверхности тела - формулами
(5.1) или (5.5) и (5.2) илн (5.8) при r = Rv Если в качестве тела
рассматривается Земля, то вместо формул (5.2) и (5.8) удобно использовать
выражения (5.15)-(5.16).
3. Ускорение свободного падения, сообщаемое земным шаром телу,
изменяется в зависимости от расположения тела относительно центра Земли:
вне Земли величина g определяется формулой (5.10) или (5.13); внутри
Землн - (5.11) или (5.14); на ее поверхности -(5.12). Если тело находится
на высоте (или на глубине) h"R3orr поверхности Земли, то ускорение
свободного падения можно считать постоянным и равным ускорению на
поверхности g0.
4. Формулы (5.10) - (5.18) справедливы не только для Земли, но и для
любого другого тела сферической формы, если в них заменить массу Земли и
ее радиус соответствующими характеристиками другого тела.
Вторая группа включает задачи на движение тел, притягивающихся друг к
другу по закону всемирного тяготения.
