Физика. Теория. Методика. Задачи - Демков В.П.
Скачать (прямая ссылка):
закрепленной оси OZ определяется результирующим вращательным моментом Мг
всех сил, действующих на тело:
Jzs = Mz = ZMz(?K), (6.7)
к= 1
где величина Jz, характеризующая инерцию тела при вращении (при
поступательном движении инерция тела определяется его массой т) и
зависящая не только от массы тела, но и от того, как эта масса
распределена в теле, от формы тела, его размеров и от того, где проходит
ось вращения OZ, называется моментом инерции тела относительно оси OZ.
Уравнение (6.7) и есть уравнение движения вращающегося тела. Из (6.7)
вытекает, что при выполнении условия
?л/2Й) = о (6.8)
К" 1
угловое ускорение тела е = 0, т.е. тело либо не вращается, либо вращается
с постоянной угловой скоростью со = const.
Следует отметить, что при решении конкретных физических задач с помощью
соотношения (6.8) можно не связывать знак момента силы FK с направлением
оси OZ (см. определение момента силы), а просто считать все моменты сил,
вращающих тело по часовой стрелке, положительными, а моменты сил,
вращающих тело против часовой стрелки, отрицательными, или наоборот -
результат будет одинаковым. Это связано с тем, что в соотношении (6.8)
справа стоит ноль.
Итак, для того чтобы твердое тело находилось в покое (не перемещалось
поступательно и не вращалось), необходимо выполнение двух условий:
векторная сумма всех сил SK= i FK, действующих на тело, должна равняться
нулю (см. формулу (6.2)), и результирующий вращательный момент всех сил,
действующих на тело, относительно любой оси OZ тоже должен равняться нулю
(см. формулу (6.8)). Следует отметить, что при выполнении этих условий
тело, вообще говоря, может равномерно вращаться и перемещаться
поступательно с постоянной скоростью.
191
Если центр инерции тела движется с ускорением ~ас (т.е. сумма всех сил
Ик= то для того чтобы тело не вращалось, условие (6.8) не-
обходимо обязательно писать относительно оси OZ, проходящей через центр
инерции тела. Можно, конечно, перейти в неинерциальиую систему отсчета,
связанную с центром инерции тела, и ввести помимо реальных сил FK,
действующих на тело, силу инерции ?ин = - т~ас, приложенную к центоу
инерции тела. В этой системе отсчета результирующая сила Ък= 1 FK + /^н =
0, и условие (6.8) можно записать относительно любой оси OZ, но при этом
нужно учитывать и момент силы инерции относительно выбранной оси OZ. Если
же ось OZ проходит через центр инерции тела, то момент силы инерции
относительно этой оси равен нулю (плечо этой силы равно нулю), и в
условии (6.8) силу инерции можно не учитывать.
Таким образом, если на твердое тело действует много сил, то движение тела
(поступательное и вращательное) зависит только от суммы всех этих сил и
от суммы их моментов. Это обстоятельство позволяет иногда заменить
совокупность всех действующих на тело сил одной силой, которую называют в
таком случае равнодействующей. Очевидно, что по величине и направлению
равнодействующая сила равна сумме всех сил Лк= 1 FK, а ее точка
приложения должна быть выбрана таким образом, чтобы ее момент
относительно произвольной оси был равен суммарному моменту всех сил
относительно этой же оси. Наиболее важный случай такого рода - сложение
параллельных сил. Сюда относится, в частности, сложение сил тяжести,
действующих на отдельные материальные точки, из которых состоит твердое
тело.
Рис. 6.5 Рис. 6.6
Рассмотрим тело массой т и определим полный момент сил тяжести
относительно горизонтальной оси OZ, проходящей через произвольно
выбранную точку О тела и перпендикулярной плоскости чертежа (рис. 6.5).
Разобьем тело на п частей, каждую из которых можно считать материальной
точкой. Сила тяжести, действующая на материальную точку т, тела, равна
/я, ~g и направлена вертикально вниз, а ее плечо есть координата Xj
материальной точки. Поэтому результирующий момент всех сил тяжести
Mz(mt) = tn\gxx +m2gх2 + .. (6.9)
<= i
192
где равнодействующая сила (/я, + т2 +...) g = g S"= i т, = т g. Если
обозначить координату точки приложения равнодействующей силы (центра
тяжести) через хс, то тот же момент Мъ можно записать в виде
Mz = mgxc. (6.10)
Приравняв (6.9) и (6.10), найдем координату центра тяжести:
Mz(mf)
*С =----------= ----------¦ (6.11)
с mg т
Но это есть не что иное, как координата центра инерции тела. Таким
образом, мы видим, что всю совокупность действующих на тело сил тяжести
можно заменить одной силой т g, приложенной к его центру инерции.
Сведение системы параллельных сил к одной равнодействующей силе, однако
невозможно, если сумма всех сил равна нулю. Действие такой совокупности
сил может быть сведено к действию, как говорят, пары сил: двух сил равных
по величине и противоположных по направлению. Очевидно, что сумма
моментов Мг таких двух сил относительно любой оси OZ, перпендикулярной
плоскости их действия, одинакова и равна произведению величины F на
расстояние h (рис. 6.6) между направлениями действия обеих сил (плечо
пары):
Mz = Fh. щ (6.12)
