Физика. Теория. Методика. Задачи - Демков В.П.
Скачать (прямая ссылка):
180
В рамках школьной программы изучается простейший случай такого движения -
равномерное движение одного тела по круговой орбите, центр которой
совпадает с центром инерции другого тела, предполагаемого неподвижным.
При этом либо тела можно считать материальными точками, либо оии имеют
сферическую форму. При таком движении на движущееся тело действует только
сила гравитационного притяжения со стороны другого тела, направленная к
центру орбиты и сообщающая телу нормальное ускорение. Уравнение движения
такого тела в проекции на нормаль к траектории (5.21) позволяет найти
первую космическую скорость (5.22) и установить связь между радиусом
орбиты и периодом обращения по ней (5.24).
Полная энергия тела, движущегося под действием силы тяготения по круговой
орбите, складывается из кинетической энергии тела и потенциальной энергии
взаимодействия (5.25) - (5.26). При переводе такого тела с одной орбиты
на другую совершается работа, равная разности механических энергий при
движении по этим орбитам. Для того чтобы вывести одно тело из поля
гравитационного притяжения другого, телу нужно сообщить кинетическую
энергию, соответствующую второй космической скорости.
Задачи
5.1. Три шара массами т = 10 кг, 2т и Ът расположены на окружности
радиусом R = 10 м так, как показано на рис. 5.5. Найти величину силы,
действующей на шар массой т со стороны двух других.
• Решение. Результирующая сила действующая на шар массой от, равна
векторной сумме сил взаимодействия и Р2 этого шара с шарами 2от и 3от
соответственно:
?=?1+?2.
Поскольку силы и ?2 по величине равны
2 от от
Ъ = У
3 от от
г- r' *
(где г, = r2 = V 2 R - расстояния между центрами
шаров) и направлены под прямым углом друг к
другу, то
f~. J ,.2 ^7 V 13 ~2 F= V F{+ F2 = у----------
• Ответ. F-у
V 13 т 2 R2
-* 12 10 й Н.
2 R
5.2. Два одинаковых шара притягиваются друг к другу с некоторой силой.
Во сколько раз нужно увеличить расстояние между центрами шаров, чтобы
сила их притяжения уменьшилась в четыре раза?
5.3. Три одинаковых шара расположены так, как показано на рис. 5.6, а.
Во сколько раз изменится результирующая сила гравитационного
взаимодействия шара 1 с шарами 2 и 3, если шары расположить так, как
показано на рис. 5.6, б?
5.4. Кольцо радиусом R = 20 см и массой М= 100 г изготовлено из тонкой
проволоки. С какой силой это кольцо притягивает частицу массой т = 2 г,
находящуюся на оси кольца на расстоянии d= 10 см от его центра?
Рис. 5.6
181
5.5. Однородный шар радиусом R имеет сферическую полость, поверхность
которой касается поверхности шара и проходит через его центр. Масса
сплошного шара без полости равнялась М. С какой силой шар будет
притягивать частицу массой т, находящуюся на расстоянии d" R от центра
шара на прямой, соединяющей центры шара и полости, со стороны полости?
• Решение. Рассмотрим сплошной шар радиусом R н массой М (рис. 5.7).
Сила гравитационного взаимодействия такого шара с частицей массой от,
находящейся на расстоянии d от центра шара, равна
г- тМ F
и направлена вдоль прямой, соединяющей частицу с центром шара.
Представим сплошной шар в виде двух тел: шара радиусом Vi R,
расположенного на месте полости (на рис. 5.7 он заштрихован двойной
штриховкой), и оставшейся части, т.е. шара с полостью (на рисунке
заштрихован одинарной штриховкой). Тогда снлу ?, можно представить в виде
векторной суммы сил
силы взаимодействия с частицей шара радиусом V2 R и шара с полостью
соответственно.
Поскольку центры шара и полости лежат на прямой, проходящей через точку
расположения частицы, то
(1)
Рис. 5.7
где ?2 , Т
Согласно закону всемирного тяготения F,=y --, F2 = у
mM'
(d- '/г R)
-~у-
т М'
где М'- масса шара радиусом l/2R, расположенного на месте полости,
М = р -г ж ( -
М 4 {R\
4/з 3*121
М
'' 8
(2)
(3)
3 1 2
Подставив выражения (2) с учетом (3) в (1), найдем силу притяжения,
действующую между шаром с полостью и частицей массой от
F = F,-F2 = y
• Ответ: F= у
1тМ
т , ч 7 тМ
-2(M-VsM)=y------
Рис. 5.8
8 d
5.6. Однородный шар радиусом R имеет сферическую полость, поверхность
которой касается поверхности шара и проходит через его центр. Масса
сплошного шара без полости равнялась М. С какой силой этот шар будет
притягивать шар радиусом ^ R, изготовленный из того же материала, что и
большой шар, если шары расположить так, как показано на рис. 5.8?
182
5.7. Внутри однородного шара плотностью р имеется сферическая полость,
центр которой находится на расстоянии г от центра шара. С какой силой
этот шар будет притягивать частицу массой т, помещенную в полость?
• Решение. Пусть частица находится в точке А на расстоянии а от
центра О шара и на расстоянии Ь от центра О полости (рис. 5.9).
Чтобы найти силу гравитационного взаимодействия шара с полостью н
частицы, поступим таким же образом, как прн решении задачи №5.5.
Рассмотрим однородный сплошной шар радиусом Я, > г н массой А/,,
изготовленный из материала плотностью р. Сила гравитационного
