Физика. Теория. Методика. Задачи - Демков В.П.
Скачать (прямая ссылка):
положениях равны по модулю друг другу. Найти угол отклонения нити от
вертикали в крайних положениях шарика.
4.38. Груз массой т, подвешенный на невесомой нерастяжимой нити,
вращается в вертикальной плоскости. Найти максимальную разность сил
натяжений нити.
• Решение. Начало решения данной задачи совпадает с решением задачи
№4.23, еслн силу реакции поверхности трека Й заменить силой натяжения
ннти Т.
В задаче №4.31 было показано, что сила натяжения нити максимальна при
прохождении грузом положения равновесия, а минимальна в крайних точках.
Следовательно, максимальная разность сил натяжений нити
А^гаах = ?1 ~ ^2> где Ти Г2 - силы натяжения нити при прохождении грузом
положения равновесия и верхней точки траектории соответственно (рис.
4.23).
Поскольку сила 7* работы не совершает, то механическая энергия системы
меняться не будет. Если ноль отсчета потенциальной энергии выбрать на
уровне положения равновесия груза, то в нижней точке траектории энергия
груза равна
mu?
F =------
1 2 '
а в верхней ц2
E2 = mg2l + ~YL,
где и,, и2 - скорость груза в нижией и верхней точках траектории
соответственно. На основании закона сохранения механической энергии
.2
Рис. 4.23
Еш - iu,
m ит mu?
Г = 2 m*/ + V-
или ~2^ = I mgl + -2='- (0
Запишем уравнение движения груза в проекции на ось, направленную по
нормали к траектории, в нижней и верхней ее точках:
171
ч и. т и?
- =Ti-mg, -T2 + mg.
Вычитая из первого уравнения (2) аторое, получим
т и,
т и,
-= Г, - T2-2mg.
I I
Из (3) с учетом закона сохранения энергии (1) находим
(2)
(3)
т и,
- + 2т g= 6 mg.
Ответ: Д7_
= 6 mg.
4.39. Груз массой т вращается на легкой нерастяжимой нити сначала в
горизонтальной, а затем в вертикальной плоскостях. Определить отношение
максимальных линейных скоростей вращения груза, если прочность нити Т>
mg.
4.40. Шарик висит на легкой нерастяжимой нити длиной /. Какую минимальную
скорость надо сообщить шарику в горизонтальном направлении, чтобы он
совершил полный оборот вокруг точки подвеса?
4.41. Пуля массой m = 5 г попадает в шар массой М= 0,5 кг, подвешенный на
легкой нерастяжимой нити, и застревает в нем. Скорость пули до удара
направлена горизонтально и равна и = 500 м/с. При какой наибольшей длине
нити шар совершит полный оборот по окружности?
Движение системы взаимодействующих частиц
4.42. Два маленьких шарика массами л, иш2 соединены легкой нерастяжимой
нитью длиной / и находятся на гладком горизонтальном столе. Шарику массой
тг сообщают горизонтальную скорость vj, направленную перпендикулярно
нити. Найти силу натяжения нити в процессе движения.
• Решение. Введем неподвижную систему отсчета, связанную со столом
(рис. 4.24).
Движение каждого шарика будем рассматривать как наложение двух движений -
поступательного движения вместе с центром масс С и вращения вокруг центра
масс.
Абсолютная скорость первого шарика и, равна сумме относительной скорости
и,' (в системе центра масс) и переносной скорости
- скорости центра масс:
"¦ -¦ " ->
= U| + ис. Аналогично, для второго шарика:
Рис. 4.24
и2 = и2' + ис
При движении вокруг центра масс шарики приобретут нормальные ускорения
(1)
(2)
а'=7
"3 =
,,2
и
'I '2
где /,, /2 - радиусы окружностей, описываемых вокруг центра масс шариками
массами тх и т2 соответственно.
172
Уравнения движения каждого из шариков в проекции на соответствующие
нормали к
траекториям примут вид , 2
т, и, m, ui
--=Т, (3)
м *2
Представим радиус-векторы т-J и ~г2 шариков через радиус-вектор гс центра
масс и радиус-векторы г% относительно системы центра масс:
г,=^+гс, -> -*1 -> г2 = г2 + гс,
где - 1"1?1 + т2 г2
Следовательно, т\ + т2
-" m,^+m2r2 г,-г, - = - т2 -> _ m,^ + m2^ m, ri-r, (Гг~~Г\)- (4)
ml+m2 ml + m2 ml + m1 m, + m2
Из (4), в частности, следует, что векторы и 7% направлены вдоль прямой,
соединяющей шарики, в противоположные стороны. Модули векторов
\r2'\ = li- (5)
Поскольку 1= /, + /2, то, разделив соотношения (4) одно на другое с
учетом (5)
l2 т, '
получим
т,I т,I
/,=----- , /2 =---------- ¦ (6)
т, +т2 т1+т2
Так как на систему в плоскости XOY никакие внешние силы не действуют
(трения нет), то система замкнута. Как известно, центр масс замкнутой
системы движется с постоянной скоростью, т.е. в любой момент времени ис =
v?0 = const.
Запишем выражение для скорости центра масс двух частиц
т, и, + т2и2
ис =--------------
т{+т2
с учетом, что в начальный момент времени и0, = 0, и0 2 = и:
ис = ио с = (7)
Wj 4- /Wj
Из выражения (7) следует, что скорость центра масс системы
направлена так же, как
начальная скорость и шарика массой т2, т.е. перпендикулярно
нити, и неизменна по вели-
чине.
Относительно центра масс начальная скорость шарика массой т2 равна (см.
(2))
-> /л\
U02 = U02-UC = -¦- U (*)
1t\ j 4" fflj
и также направлена перпендикулярно нити.
Выразим скорость центра масс ис' системы через скорости шариков I?,' и
и2' относительно центра масс: .
т\ u,'+m2vJ2'
Up =--------------.
