Физика. Теория. Методика. Задачи - Демков В.П.
Скачать (прямая ссылка):
исключающую всякое поступательное движение тела, то для решения задачи
обычно можно ограничиться лишь составлением уравнений моментов
относительно этой оси.
Если на тело действует несколько сил, не параллельных друг другу, так,
что линии действия всех сил пересекаются в одной точке (так называемая
сходящаяся система сил), то при равновесии тела многоугольник,
составленный из векторов сил, действующих иа тело, замкнут. Тогда решение
задачи можно получить, не прибегая к уравнениям (6.2) и (6.8). Для этого
силы, действующие на тело, нужно перенести параллельным переносом и
построить с их помощью замкнутый многоугольник сил. Далее,
воспользовавшись подобием многоугольника сил и геометрического
многоугольника, образуемого элементами системы,
194
находящейся в равновесии, решить задачу на основании построений и правил
геометрии. В этом случае решение может бьггь гораздо проще, чем решение
на основании общих условий равновесия.
Задачи
Центр тяжести тела
6.1. Четыре материальные точки массами от,, от2, тъ, от4 расположены на
легком жестком стержне на расстояниях / друг за другом (рис. 6.7). Найти
положение центра тяжести системы.
• Решение. I способ. Так как система обладает осевой симметрией, то
ось ОХ удобно направить вдоль прямой, соединяющей материальные точки, а
начало отсчета поместить на конце стержня. Положение центра тяжести
системы определим по формуле (6.11)
ЕЛ
i=\mixi т10 + т21 + т321 + т431 + /и, + /я, + /и.
Г
' 1 с* 1 X
1- L /
щ g щ g \m3g
т т,
Отсюда находим
Рнс. 6.7
хг = 1
т2 + 2 т3 + 3 /я4 т. + т^+т-, + т*
"| -г т2 т >1*2 т "*4
2 способ. Если в центре тяжести (некоторой точке С, рис. 6.7) приложить к
стержню силу Р, уравновешивающую действующие силы тяжести материальных
точек, то система будет находиться в равновесии.
Запишем условия равновесия относительно системы координат, указанной на
рисунке, с учетом силы Р.
T,Mz = m2gI + m}g2 I+m4g3 I-Fxc = 0,
2^ = 0,
(О
(2)
'LFy = -(ml + m2 + m3 +m^g+F= 0,
(3)
где xc - расстояние от оси OZ до центра тяжести системы (ось OZ проходит
через точку
О перпендикулярно плоскости чертежа).
Решив систему уравнений (1) - (3), получим
т2 + 2 т3 + 3 /я4
•/.
Ответ. хс = /
т2 + 2 т3 + 3 ш4
/я, + /и, + иь + тА
т1+т2 + т3+ т4
6.2. К концам однородного стержня длиной / = 50 см и весом Р = 10 Н
подвешены две гири весом Рх = 10 Н и Р2 = 20 Н. В какой точке следует
поставить опору, чтобы стержень находился в равновесии?
6.3. На концах однородного стержня длиной / = 1 м и массой т = 5 кг
закреплены два шара радиусами /?, = 15 см и R2 = 20 см и массами От] = 10
кг и т2 - 50 кг соответственно. Найти положение центра тяжести системы.
6.4. Внутри диска радиусом R = 105,6 см, изготовленного из
плоскопараллельной однородной пластинки, вырезан квадрат таким образом,
как показано на рис. 6.8. Найти положение центра тяжести диска с вырезом.
7*
195
• Решение. Нахождение положения центра тяжести однородных тел,
имеющих вырез, в рамках школьной программы возможно лишь при условии, что
известны положения центров тяжести целого тела и вырезанной части. При
этом иа чертеже тело с вырезом нужно расположить так, чтобы центры
тяжести целого тела и вырезанной части находились в плоскости рисунка на
горизонтальной прямой. Тогда силу тяжести целого тела можно представить
как сумму двух параллельных сил - силы тяжести вырезанной части и силы
тяжести оставшейся фигуры, т.е. тела с вырезом.
Рассмотрим конкретную задачу.
Еслн бы диск массой т был без выреза, то на него действовала бы сила
тяжести т g*= m]g>Jrm2g>, где /я,, т2 - масса вырезанного квадрата и
масса диска с вырезом соответственно. При этом сила тяжести mg приложена
к центру тяжести диска без выреза (к геометрическому центру диска), /и, g
- к центру тяжести квадрата (к геометрическому центру квадрата), m2g - в
некоторой точке 0\ соответствующей центру тяжести диска с вырезом. При
этом диск находился бы в равновесии.
Запишем уравнение моментов целого диска относительно оси 02, проходящей
через точку О (геометрический центр диска) перпендикулярно плоскости
чертежа, считая диск состоящим из двух частей - квадрата и диска с
вырезом:
R
¦m2gxe =
Рис. 6.8
¦0,
(1)
где хс - расстояние от оси 02 до центра тяжести пластинки с вырезом.
Выразив массы вырезанного квадрата и диска через плотность и объем
m\ = lAphR
m = f>hnR
(2)
(где h - толщина пластинки; р - плотность материала, из которого она
изготоалена), из (1) - (2) находим
'/2 ]/2mlR R
х" =---------=---------= -m--------гг" 0;1 м.
Ответ: хг =-------------->
с 2 (2 ж - 1)
т-т, 2 (2 п - 1)
10,1 м.
Рис. 6.9
Рис. 6.10
6.5. В однородной квадратной пластинке со стороной b вырезано круглое
отверстие так, как показано на рис. 6.9. Найти положение центра тяжести
пластинки с вырезом.
196
6.6. Однородная плоская пластинка имеет форму круга радиусом R, из
которого вырезан круг вдвое меньшего радиуса так, как показано на рис.
6.10. Найти положение центра тяжести пластинки с вырезом.
