Физика. Теория. Методика. Задачи - Демков В.П.
Скачать (прямая ссылка):
т, т7
ГГ = У~~Г"г- <5'5)
Из (5.5) видно, что сила взаимодействия равна нулю, когда
частица
массой т2 находится в центре шара (г = 0), и растет с увеличением
г по
линейному закону при смещении частицы массой т2 к прверхности шара,
достигая на поверхности значения
т\
*W = Y-:
А '
соответствующего силе взаимодействия тела сферической формы с
материальной точкой (5.1).
Используя формулы (5.2) и (5.5), можно получить выражение для
потенциальной энергии взаимодействия между сплошным шаром и материальной
точкой, находящейся внутри шара, которая по определению равна работе силы
тяготения при перемещении частицы массой т2 из исходного положения на
нулевой уровень (при условии, что шар неподвижен), соответствующий
удалению тел друг от друга на бесконечно большое расстояние.
Так как сила взаимодействия между сплошным шаром и материальной точкой
при г < Rx линейно зависит от г (см. формулу (5.5)), а при r>R]
пропорциональна 1/г2 (см. формулу (5.1)), то
и]_2=А]+А2, (5.6)
где Aj - работа силы (5.5) при перемещении частицы массой т2 из точки,
находящейся внутри шара, на его поверхность; А2 - работа силы (5.1) при
перемещении этой частицы с поверхности шара на бесконечность.
Так как в интервале [г, Л,] сила зависит от расстояния г по линейному
закону, то (см. §3, формулы (3.29) - (3.30))
At = -<F>(Rj - г), где среднее значение силы
If 1 1 (т\ т-у т\ т71
<F> = 2{F(r) + F(/?1)| = b|^r + -^}, (5.7)
R\ к\
а знак "минус" поставлен потому, что направления силы и перемещения
противоположны.
Работа А2 есть не что иное как потенциальная энергия частицы массой т2,
находящейся на поверхности шара. В соответствии с (5.2)
т, /я,
А2 = -у-' 2
Я.
176
Тогда потенциальная энергия взаимодействия между шаром и материальной
точкой, находящейся внутри шара,
3 т
ц-2=-4у
R,
+ Y
тх т
2R1
2 г2.
(5.8)
Силу, с которой земной шар массой М3 и радиусом R3 действует на небольшое
(по сравнению с размерами Земли) тело массой т, называют обычно силой
тяжести и записывают ее в виде
F=m? (5.9)
где ~g - ускорение свободного падения, направленное вертикально вниз (к
центру Земли). Если считать тело материальной точкой, то, сравнивая (5.9)
с (5.1) и (5.5), можно получить, что ускорение свободного падения
М,
g = y-Т<
г
если тело находится вне Земли (г > R3), и
М,
g = Y
R
з
,ГГ'
(5.10)
(5.11)
если тело находится внутри Земли (r<R3). На поверхности Земли (г = R3)
ускорение свободного падения (из формулы (5.10) или (5.11))
g(r = R3) = g0 = y
М3
Rl
(5.12)
Подставив в (5.12) значения гравитационной постоянной у, массы Земли М3 =
5,98-1024 кг и ее радиуса R3 = 6,37-106 м, получим для g0 значение 9,81
м/с2. На рис. 5.2 представлена зависимость ускорения свободного падения
тела g от расстояния до центра Земли г. в центре Земли g = 0, далее оно
возрастает с ростом г по линейному закону, достигая значения gQ на
поверхности Земли, а затем убывает обратно пропорционально г2 при
удалении тела от поверхности Земли. Используя (5.12), выражения для
ускорения свободного падения (5.10) и (5.11) можно переписать в виде
Рис. 5.2
R3 Щ
8=8o^ = 8o~(r^W
So
(1 +h/R3y
(5.13)
вне Земли (г > R3), где h - высота тела над поверхностью Земли, и
§ So So
R3-h Я,
= g0(\-h/R3)
(5.14)
l3 Jl3
внутри Земли (г < R3), где h - глубина тела под поверхностью Земли. Если
тело находится вблизи поверхности Земли: h/R3 < < 1 и g~ gQ-
Используя (5.2) и (5.8), потенциальную энергию тела массой т,
находящегося в поле тяготения Земли, можно представить в виде
177
U=-y-
т Mr,
= -mgr = -mg0-
= ~m g0
при r>R3 (вне Земли) и
1 + h/R3
г, 3 U=--y
m Mr,
¦ + У'
тЩ 2 3 _ 1 ?
- r =~2mSoR3 + 2mgoY =
2 R.
(5.15)
(5.16)
3 1 i
= - j m So R3 + 2 m So R3 0 - h/R3У
при r<R3 (внутри Земли).
Используя (5.15), найдем работу силы тяжести при перемещении тела
массой т из точки 1, лежащей на высоте h над поверхностью Земли, в
точку 2, расположенную на поверхности Земли:
mgoR3 " mg0h
+ т g0 =¦ (5-17)
A]_2 = u]-u2 = -
1 + h/Rr,
1 + h/R3
По определению потенциальной энергии, работа Л,_2 есть потенциальная
энергия U'тела массой т, расположенного на высоте И, если за нулевой
уровень принять поверхность Земли, т.е.
. т go h
U =А, 2 =-----55-. (5.18)
1-2 \+h/R3
Если высота h <<R3, то из (5.18) следует, что
U'amg0h, (5.19)
что совпадает со стандартной формулой для потенциальной энергии тела,
расположенного на высоте А вблизи поверхности Земли. Таким же образом из
выражения (5.16) можно получить потенциальную энергию тела, находящегося
на небольшой глубине h<<R3 под поверхностью Земли:
и'& - т g0h. (5.20)
Рассмотрим теперь движение двух тел, притягивающихся друг к
другу по закону всемирного тяготения. Предположим, что масса М одного из
тел значительно больше массы т другого тела (М>> т). Если расстояние
между телами велико по сравнению с размерами меньшего тела т, а большее
тело М имеет сферическую форму, то мы имеем дело с задачей о движении
материальной точки т в гравитационном поле, создаваемом телом М, которое
