Физика. Теория. Методика. Задачи - Демков В.П.
Скачать (прямая ссылка):
соскальзывает без трения небольшое тело (рис. 4.14). На каком расстоянии
/ от точки закрепления сферы тело упадет на пол? Трением и сопротивлением
воздуха пренебречь.
4.23. Мотоциклист едет по горизонтальной дороге. Какую скорость должен он
развить, чтобы, выключив мотор, проехать по треку, имеющему форму
"мертвой петли" радиусом R = 4 м? Трением пренебречь.
• Решете. При движении с выключенным мотором на систему "мотоцикл-
мотоциклист" будут действовать сила тяжести mg н сила реакции поверхности
трека $ (рис. 4.15). Поскольку сила реакции работы не совершает, то
механическая энергия системы меняться не будет. Если ноль отсчета
потенциальной энергии выбрать на уровне горизонтальной дороги, то в
нижней точке трека энергия системы будет равна Е^ = х/гтм\, а в верхней -
Ег = т g2 Л + !^ m Uj, гае и(, и2 - скорость мотоциклиста в нижней и
верхней точках трека соответственно. На основании закона сохранения
механической энергии
Е | - Е2,
или
¦2mgR + -
т и,
(1)
Запишем уравнение движения системы в проекции на ось, направленную по
нормали к траектории, в нижней и верхней точках трека:
166
mu,
~R
- = Nl-mg,
R
¦ = N2 +mg.
(2)
Чтобы мотоциклист проехал трек, не отрываясь от его поверхности, сила
реакции не должна обращаться в ноль во всех точках траектории. Поскольку
минимальная величина силы реакции будет в верхней точке трека
то при выполнении условия
N,_ = -
т и,
т и;
--mg,
¦mg> О
(3)
мотоциклист проедет весь трек, не отрываясь от его поверхности. Выразив
из уравнения (1) скорость о2 и подставив в (3)
-4 gR
g> О,
получим
R
и, >V 5gR * 14 м/с.
• Ответ: и, > V 5 gR * 14 м/с.
4.24. С какой силой прижимается летчик к сидению самолета в нижней точке
"мертвой петли" радиусом Л = 200 м? Масса летчика т-15 кг, скорость
самолета и = 360 км/ч.
4.25. Летчик выполняет на самолете "мертвую петлю" радиусом R = 100 м.
Скорость самолета в нижней точке петли и = 360 км/ч. Полагая, что выраж
выполняется при выключенном моторе, найти величину силы, с которой летчик
прижимается к сидению самолета в верхней точке петли. Масса летчика т =
70 кг.
4.26. Горка, представляющая собой дугу окружности радиусом R = 4 м,
плавно переходит в горизонтальную плоскость. Поверхность горки гладкая, а
горизонтальная поверхность - шероховатая с коэффициентом трения ц = 0,1.
Санки, съехав с горки, остановились на расстоянии / = 30 м от ее конца.
На какой высоте человек в санках испытал двукратную перегрузку (отношение
веса человека к силе тяжести)?
4.27. Шарик скользит без трения по внутренней поверхности желоба,
выполненного в виде двух сопряженных в точке А окружностей радиусами Ли
Vi Л<г <R (рис. 4.16).
Найти скорость шарика в наивысшей точке его траектории, если
первоначально шарик находился на высоте h-R от точки сопряжения А.
• Решение. При скольжении шарика на него будут действовать сила
тяжести m~g и сила реакции поверхности желоба ^ Поскольку сила
перпендикулярна траектории шарика, то она работы не совершает. Поэтому
полная механическая энергия шарика в любой момент
167
будет одинаковой. Если нулевой уровень отсчета потенциальной энергии
выбрать на уровне точки сопряжения А, то в начальный момент (в точке В)
шарик будет иметь энергию EB = mgh = mgR.
Рассмотрим последовательно все этапы движения шарика.
Соскользнув из точки В в точку А, шарик приобретет кинетическую энергию
ТА = ?в. В точке С (расположенной на горизонтальном диаметре окружности
радиусом г) потенциальная энергия шарика Uc = mgr< Ев. Следовательно,
энергии достаточно, чтобы шарик смог достичь точки С, в которой кроме
потенциальной он будет иметь также кинетическую энергию. Легко понять,
что точки К шарик не достигнет, поскольку потенциальная энергия в
указанной точке UK = m g2r> Ев. Это означает, что в некоторой точке А
расположенной между точками С и К, шарик оторвется от поверхности желоба.
Причем, в момент отрыва шарнк будет иметь скорость uD, направленную по
касательной к поверхности желоба.
Записав закон сохранения механической энергии в виде
m Up
?b = ?d, или m g R = m g Н н---
(где H= г (1 + cos а) - высота точки отрыва D относительно точки
сопряжения А окружностей), получим
u| = 2g[/?-/-(l + cosoi)]. (1)
При движении по окружности радиусом г в точке D шарик приобретет
нормальное ускорение
UD
а" = -.
" г
Записав уравнение движения шарика в проекции на ось ОХ, направленную по
нормали п к траектории,
m uD
------= m g cos a - N,
в момент отрыва (/?= 0) получим
и| = gr cos a. (2)
Приравняв правые части уравнений (1) и (2), находим
2 R-r
2g [Л - г (1 + cos a)] =gr cos a; cosa = ---------. (3)
Подставив выражение для cos a из (3) в (2), найдем скорость шарика в
момент отрыва от поверхности желоба:
"D = 'l2Ag(R-r).
После отрыва от поверхности желоба шарик будет двигаться по параболе по
законам движения тела, брошенного вблизи поверхности земли с начальной
скоростью lJD под углом а к горизонту. При таком движении скорость в
произвольной точке
