Физика. Теория. Методика. Задачи - Демков В.П.
Скачать (прямая ссылка):
mv2
ОХ: -- = A cos а,
Рнс. 4.11
02:
т и R
ma = N sin а -
mg.
(1)
(2)
6*
163
Выразив силу реакции из (2) и подставив в (1)
N_m(g+a) sin а
т и , ч
^Y- = m(g + a) ctga, найдем линейную скорость шарика
u = Vfl(g + a)ctga.
Как видим, скорость шарика будет постоянной. Следовательно, время одного
оборота шарика по окружности радиусом R
илн Т= 2ял/^^.
---- U a + g
• Ответ: Г= 2 я V ^ *8 a .
a + g
4.15. Внутрь сферы радиусом R насыпали немного песка. Где будут
находиться песчинки, если сферу привести во вращение с угловой скоростью
со вокруг вертикальной оси, проходящей через центр сферы? Трением
пренебречь.
4.16. Сосуд, имеющий форму усеченного расширяющегося вверх конуса,
вращается вокруг вертикальной оси. Диаметр дна сосуда D = 20 см, угол
наклона стенок к горизонту a = 60°. При какой угловой скорости вращения
сосуда маленький шарик, лежащий на его дне, будет выброшен из сосуда?
Трением пренебречь.
4.17. На гладком столе лежит кольцо массой т и радиусом R. Кольцо сделано
из проволоки, выдерживающей максимальное натяжение Гтах. До какой угловой
скорости нужно раскрутить кольцо, чтобы оно разо-
• Решение. Рассмотрим бесконечно малый элемент кольца длиной Д1 (рис.
4.12). Полагая, что масса т кольца распределена по всей его длине
равномерно, найдем массу Ат выделенного элемента кольца. Так как масса
единицы длины кольца равна Атед = т/2л R, то масса элемента кольца длиной
А1
.... т А1 Дт = ДтедД/ = -.
Нели длину А1 выразить через радиус кольца R и угол а, т.е. Д/ = 2 R а,
то получим
А т а /1\
Ат =-------. (1)
%
При врашении кольца на выделенный элемент со стороны соседних элементов
будут действовать силы натяжения 7*, сообщающие ему нормальное ускорение
а" = to2 R.
Запишем уравнение движения элемента Ат кольца в проекции на ось ОХ
(направленную по радиусу кольца):
Am to2 R = 2 Tsin a. (2)
Так как длина А1 мала, то угол а также мал, и можно положить, что sin a
ж а. Тогда
уравнение (2) с учетом (1) примет вид
т a 2
ев Л * 2 Га,
т 2 п - ев Л"
2 Т.
164
Для того чтобы кольцо разорвалось, его нужно раскрутить до угловой
скорости, при которой силы натяжения превысят 7*тах. При этом будет
выполняться неравенство
Следовательно,
^со2Л>2 Тт
Ответ: со
•>V
max
2^ma
mR
mR
4.18. Из тонкого резинового жгута массой т = 0,2 кг и длиной /=1 м
сделали кольцо. Кольцо раскрутили вокруг его оси до угловой скорости со =
10 рад/с. Найти радиус вращающегося кольца, если коэффициент жесткости
резины, из которой оно изготовлено, равен к= 10 Н/м. Силу тяжести не
учитывать.
4.19. Резиновое кольцо массой от = 100 г надето на вертикальный цилиндр
радиусом R = 20 см. При этом сила натяжения кольца Т = 0,3 Н. Найти
коэффициент трения между поверхностью цилиндра и кольцом, если при
вращении цилиндра вокруг своей оси с угловой скоростью со = 4 рад/с
кольцо с него соскальзывает.
Движение в вертикальной плоскости
s
4.20. Небольшой шарик массой т соскальзывает без трения с вершины
полусферы радиусом R. На какой высоте над центром полусферы шарик
оторвется от ее поверхности? Чему равна скорость шарика в момент отрыва?
• Решение. При скольжении шарика по сферической поверхности на него
будут действовать сила тяжести mg и сила реакции сферы $ (рис. 4.13).
Поскольку сила N перпендикулярна траектории шарика, то она работы не со-
/ х '^т g
вершает. Поэтому полная механичес-кая энергия шарика меняться не будет.
у.
Если нулевой уровень отсчета потенциальной энергии выбрать у основания
^ис 4.13
полусферы, то в начальный момент (в точке А) шарик будет иметь только
потенциальную энергию Et = mgR, а в произвольной точке В, находящейся на
высоте А, - потенциальную и кинетическую энергию: E2 = mgh+l/imv2. На
основании закона сохранения механической энергии
или
г. I I
тgR=mgh + -
Отсюда находим
u = 'l2g(R-h), или и = V 2 gtf (1 - cos а), (1)
где а - угол между прямой, проведенной из центра полусферы в точку В, и
вертикалью. При соскальзывании шарика его нормальное ускорение
2
а" =
R
будет увеличиваться одновременно с ростом скорости.
Из уравнения движения, записанного в проекции на ось ОХ, направленную по
нормали п к траектории,
165
т и R
- = mgcosa-N
видно, что сила реакции поверхности сферы ч
N = т geos а -
т и R
(2)
с увеличением скорости шарика будет уменьшаться и станет равной нулю
(шарик оторвется от поверхности сферы) при скорости
и = V g R cos а. (3)
Приравняв правые части уравнений (1) и (3), получим
2gR(\ - cos а) = g Л cos a; cosa = 2/3.
Следовательно, шарик оторвется от поверхности сферы на высоте
h = R cos a = 2А R и в момент отрыва будет иметь скорость
и = ^g Л cos a = ^ 2/з g R.
• Ответ: h = 2/з R, и = ^2/з gR.
4.21. Небольшая шайба массой т лежит на вершине гладкой полусферы
радиусом R. Шайбе сообщают скоростью vj0 , направленную горизонтально. На
какой высоте над центром полусферы шайба оторвется от ее поверхности?
4.22. Сфера радиусом R укреплена на горизонтальном полу. С вершины сферы
