Физика. Теория. Методика. Задачи - Демков В.П.
Скачать (прямая ссылка):
T3 So T-i
a = arctg-----------^---------Ф " 0,086°.
1 ¦
• Ответ: a = arctg----"5-------Ф * 0,086 .
1 - R3
saTl
5.17. Тело массой m = 100 кг находится на поверхности Земли на широте ф =
60°. Определить вес тела? Радиус Земли R3 = 6400 км.
5.18. Оценить относительную ошибку, допущенную при аналитическом
определении веса тела на широте <р = 60° без учета суточного вращения
Земли. Радиус Земли R3 = 6400 км.
5.19. Зная радиус орбиты Земли Л= 1,5-10(r) км, определить массу Солнца.
Продолжительность земного года принять равной Т = 365 суток.
• Решение. Еслн пренебречь силами притяжения, действующими на Землю
со стороны не-
бесных тел, то можно считать, что на Землю при ее движении действует сила
гравитационного притяжения только со стороны Солнца. Поскольку сила
притяжения напраалена перпендикулярно траектории Земли, то оиа работы не
совершает, следовательно, не изменяет кинетическую энергию и скорость
движения Земли. Поэтому под действием силы гравитационного взаимодействия
с Солнцем Земля равномерно движется по окружности радиусом R с нормальным
ускорением ,
ап= R '
Из уравнения движения Земли, записанного в сопровождающей системе отсчета
в проекции на нормаль к траектории, ,
Л/q U A'/'j Мс
= - =r- r2
(где А/3, Мс - массы Земли и Солнца соответственно; и = 2 л R/Т- линейная
скорость Земли
при движении по круговой орбите вокруг Солнца; Т- период обращения Земли
вокруг
Солнца), получим 2 "з
Мс - -~^г * 2-1030 кг.
2 3 СуТ2
• Ответ: Мс = ^71 ^ " 2-1030 кг.
С уТ2
5.20. Один из спутников Юпитера отстоит от центра Юпитера в среднем на
расстояние R = 1,9-109 м и имеет период обращения Т = 1,44-106 с.
Определить массу Юпитера.
186
5.21. Венера находится от Солнца на расстоянии Л, = 1,08-108 км.
Определить продолжительность венерианского года, учитывая, что Земля
удалена от Солнца в на расстояние R2 = 1,5-10* км. Продолжительность
земного года принять равной Т = 365 суток.
5.22. Космический корабль, движущийся по круговой орбите вокруг Земли,
перешел на новую орбиту, на которой скорость корабля уменьшилась в два
раза. Во сколько раз при этом изменилась сила тяжести космонавта?
• Решение. Для движения по круговой орбите на высоте А над
поверхностью Земли космический корабль должен иметь первую космическую
скорость (см. формулу (5.27))
^ л/ gp^3 Л3 + А
Следовательно, скорости космического корабля на орбитах высотой А, и k2
различаются в
(1)
°1 _\j ^3 + ^2
о, Я, + А. раз.
С другой стороны, на высоте А над поверхностью Земли ускорение свободного
падения равно (см. формулу (5.13))
й 8=8°^W'
а сила тяжести космонавта массой m _
Rl
mg=mg0 --------j.
(Л3 + A)
Следовательно, на орбитах высотой А, и h2 силы тяжести космонавта
различаются в раз. <*з + Л.>2
Из (1) - (2) с учетом условия задачи (и, =2 о2) получим
:16.
mg2 и.
mS\ I ul l4
• Ответ: уменьшилась в-= 1 - ( = 16 раз.
"12 1 И2 1
5.23. Найти первую космическую скорость вблизи поверхности Луны. Радиус
Луны Rn= 1780 км, ускорение свободного падения у ее поверхности в п = 6
раз меньше ускорения свободного падения у поверхности Земли.
5.24. Найти первую космическую скорость вблизи поверхности планеты
радиусом Л = 2500 км, средняя плотность которой р = 4,5-103 кг/м3.
5.25. Искусственный спутник Земли, находящийся на круговой орбите, имеет
скорость и = 7,5 км/с. На какой высоте над поверхностью Земли он
движется? Радиус Земли R3 = 6400 км.
5.26. Определить силу тяжести, действующую на космонавта массой т = 75
кг, находящегося на космическом корабле, движущемся по круговой орбите со
скоростью о = 1,56 км/с на расстоянии R = 2000 км от центра Луны. Влияние
Земли, Солнца и других планет не учитывать.
187
5.27. Какую минимальную работу должен совершить двигатель космического
летательного аппарата массой т = 2000 кг, чтобы перевести его с орбиты
высотой А, = 2000 км над поверхностью Земли на орбиту высотой Иг = 1000
км? Радиус Земли R3 = 6400 км.
• Решение. Работа по переводу спутника с одной орбиты на другую равна
разности полных механических энергий при движении спутника по этим
орбитам:
Л = (Т2 + иг) - (Г| + (/j), (1)
где Г,, Т2 - кинетические, а (/,, и2 - потенциальные энергии спутника на
начальной и конечной орбитах соответственно.
С учетом выражений для кинетической энергии и потенциальной энергии
гравитационного взаимодействия (см. формулу (5.1))
mu2 mMx
Г=^,
уравнение (1) можно записать в виде
¦ т и, тМч } г т о, т М,
3
(2)
?. Г ч ' '
где г, = Л3 + A,, r2 = R3 + h2- радиусы начальной и конечной орбит
спутника соответственно; A/j - масса Земли; и,, о2 - скорости спутника на
первой и второй круговых орбитах (см. формулу (5.22)): ---- ------
Ui=ViM (3)
''I r2
Подставив (3) в (2), получим
т М3 т М3\ I тМ3 тМ3
2г,
ИЛИ
2 1 г, г2 1
Выразив массу Земли из условия (см. формулу (5.12))
щ
8о У 2 '
окончательно находим з
, gomRl r2~r 1 g0mR3 h2~h, , ,r9 "
A =----Г----------= Г----------------------as-6,46-10 Дж.
2 r,r2 2 (iJj + AjX^ + Aj) ^
