Физика. Теория. Методика. Задачи - Демков В.П.
Скачать (прямая ссылка):
временем таким образом, что когда одна из них увеличивается, то другая -
уменьшается. Поэтому в определенные моменты времени они будут равны друг
другу.
Рассмотрим уравнение гармонических колебаний частицы в виде
х = A sin (со01 + а). (1)
Продифференцировав уравнение (1) по времени, получим выражение для
скорости частицы
и = - = А ю0 cos (о)01 + а). (2)
Кинетическая н потенциальная энергия частицы массой т в любой момент
времени m ftl 0)n А 7 jr 'Р' ftt (On A .
Г=^ = -cos2 К / + a), U = *f- = -j- sin2(o>0/ + a), (3)
где учтено, что а>1 = к/т (к - коэффициент возвращающей силы).
Разделив первое из уравнений (3) на второе, получим
Т
- = tg2 (ю0 / + а).
В искомые моменты времени т
T(x) = U(x).
Следовательно, кинетическая энергия частицы равна потенциальной в моменты
времени т, удовлетворяющие условию
tg(a>0T + a) = ±l.
Отсюда находим
ю0 т, + a = Va л + п л, где п = 0, 1,2, . . .; ю0 т2 + a = - '/4 71 + и'
71, где и' = 0, 1,2,.. ..
С учетом условия задачи (со0 = 2 и, a = '/б 7i) получим
2 71 Т, + % 71 = '/4Р + П 71, Т| = !^4 + '/2 П С;
2 71 Т2 + '/б 71 = - '/4 71 + ri 71, т2 = - %4 + '/i я1 С,
ИЛН Т = '/24 + '/4 и с, где п = 0, 1, 2.
• Ответ: т = + '/4 и с, где и = 0, 1, 2, . . ..
8.5. Материальная точка срвершает гармонические колебания по закону
х = 4 sin (я t - '/б я) [см].
Через какой промежуток времени после начала движения кинетическая энергия
частицы во второй раз достигнет максимального значения?
8.6. Материальная точка совершает гармонические колебания по закону
х = 5 sin 2 t [м].
В момент времени, когда возвращающая сила впервые достигла значения F= 5-
10'3 Н, потенциальная энергия точки стала равной U = 610'3 Дж. Определить
этот момент времени.
8.7. В процессе гармонических колебаний максимальная скорость частицы
ишах = 2 см/с, а максимальное ускорение - = 1 см/с2. Определить
циклическую частоту и амплитуду колебаний, а также скорость частицы в
момент времени, когда ее смещение относительно положения равновесия равно
половине максимального.
254
• Решение. Смещение частицы относительно положения равновесия в
произвольный момент времени I определяется уравнением гармонических
колебаний
х = A cos (о)0 / + а). (1)
Дважды последовательно продифференцировав (1) по времени, получим
зависимости
скорости и ускорения частицы от времени:
о = -= -^co0sin((o0/ + a), (2)
а = ^=-А a>o cos (a>0 / + а). (3)
Из уравнений (2) и (3) следует, что максимальные значения скорости н
ускорения частицы, совершающей гармонические колебания, равны
соответственно
итах=ю0' °тах = /^шо- W
Следовательно, циклическая частота и амплитуда колебаний
2
°тах " , , . °тах .
о)0 =----= 0,5 рад/с, А =--------= 4 см.
°тах °тах
Чтобы найти скорость частицы в момент времени, соответствующий
определенному положению частицы, получим зависимость скорости частицы от
ее координаты. Для этого исключим время в уравнениях (1) и (2), переписав
их в виде
cos2 (ю0 / + a) = -г , sin2 (со01 + a) = , -г и сложив: А 2 2 А
"°
1=^- + -2-
А2 А2ш20 '
Отсюда находим
и = о)" ^ А2 -х2,
или с учетом выражения для циклической частоты ю0 и условия задачи (х=
V2A)
I-;;---------г- (0"А VI
Urnav
VI
v = <ojA2-'AA2 =-2-z--------= -^--------" 1,73 см/с.
2
2
= 0,5 рад/с; А = т11Л = 4 см; и = -^-----------------* 1,73 см/с.
°тах _ _ ^шяу V 3
°ir._
8.8. Частица совершает гармонические колебания с частотой v = 0,5 Гц и
амплитудой А = 3 см. Определить скорость частицы в момент времени, когда
ее смещение относительно положения равновесия равно Vi А.
8.9. Тело массой от = 100 г совершает гармонические колебания. На
расстояниях х, = 40 см и х2 = 0,4V~2 м от положения равновесия скорости
тела равны и, = 3"\Гз м/с и и2 = 3V~2 м/с соответственно. Найти полную
энергию тела.
8.10. Материальная точка совершает гармонические колебания с амплитудой А
и частотой ю0. Определить начальную скорость точки и ее смещение
относительно положения равновесия в начальный момент времени, если в этот
момент ее кинетическая энергия равна Т, а потенциальная U.
8.11. Ареометр - прибор для измерения плотности жидкостей - представляет
собой цилиндрическую запаянную стеклянную трубку, один конец которой
тяжелее, чем другой. Площадь поперечного сечения ареометра S, масса т.
Найти период малых вертикальных колебаний ареометра в жидкости плотностью
р. Силами вязкого трения пренебречь.
255
• Решение. В положении равновесия на ареометр действуют сила тяжести
mg н сила Архимеда ?Ао (рнс. 8.8, а), причем
mS = F\v или mg=pglS, (1) где I - длина погруженной в жидкость части
прибора.
Чтобы найти период колебаний ареометра, заставим его двигаться. Для этого
прибор можно сместить из положения равновесия на малую величину х0 (т.е.
изменить потенциальную энергию) и отпустить или сообщить ему вертикальную
скорость и0 (т.е. сообщить кинетическую энергию). Если пренебречь силой
вязкого трения
о жидкость, то при движении ареометра на него будут действовать сила
тяжести mg и сила Архимеда FA, причем величина силы РА будет меняться
