Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Демков В.П. -> "Физика. Теория. Методика. Задачи" -> 110

Физика. Теория. Методика. Задачи - Демков В.П.

Демков В.П., Третьякова О.Н. Физика. Теория. Методика. Задачи — М.: Высшая школа, 2001. — 669 c.
Скачать (прямая ссылка): fizikateoriyametodikazadachi2001.djvu
Предыдущая << 1 .. 104 105 106 107 108 109 < 110 > 111 112 113 114 115 116 .. 290 >> Следующая

вместе с глубиной погружения прибора в жидкость. В положениях, когда
ареометр будет находиться ниже положения равновесия, силаFA>mg; если
прибор будет находиться выше положения равновесия, то сила FA< mg. Причем
в том и другом положениях результирующая сила будет направлена к
положению равновесия, т.е. будет возвращающей.
Рассмотрим три способа определения периода колебаний, предложенные в
рекомендациях по решению задач данного параграфа.
1 способ. Рассмотрим произвольный момент движения ареометра,
например, когда он погружен в жидкость на глубину х относительно
положения равновесия (рнс. 8.8, б).
Направим ось ОХ вдоль движения ареометра в сторону смещения, т.е. вниз, н
запишем уравнение движения прибора
т~а- т g + ^д
в проекции на выбранную ось
max = mg-FA, (2)
где Fa = р g(/ + x) S. С учетом условия равновесия (1) уравнение
движения (2) запишем в
виде
_______ max = pglS-pg(l + x)S, нли ах + в>1х = 0, (3)
где со0 =W р g S/m - циклическая частота колебаний ареометра, которая
связана с периодом
соотношением Т=2ж/а0.
Следовательно, i----
Г= 2W-2*- .
PgS
2 способ. Пусть энергия ареометра в момент времени, соответствующий
началу колебаний, равна ?тах. Выберем нулевой уровень отсчета
потенциальной энергии в положении равновесия н воспользуемся теоремой о
полной механической энергии в виде
AE = A(Fa),
где изменение энергии 2
. " mu _
Л? = ~2---mg*-?max,
а работа силы Архимеда
A(Fa) = -<Fa>x.
Поскольку среднее значение силы Архимеда на перемещении х равно р
pglS+pg(l+x)S
А ~ 2
то выражение (4) с учетом_(5) - (7) примет вид m и'
2
256
¦mgx
F pglS + pg(l + x)S
^max-
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
Взяв производную по времени от левой н правой частей (8), получим
maxv-mg\> = -pglSv-pgxSv, (9)
где учтено, что ,р
ах ах> а?тпах .
V~dt' °x~df dt Следовательно, уравнение (9) можно записать в виде
max-(mg-pglS) + pgxS= О, илн с учетом условия равновесия (1)
ах + (OqX = 0, (10)
где co0=W р gS/m. Как видим, уравнение (10) совпадает с (3).
Следовательно,
ш0 pgS
3 способ. Спроецируем на ось ОХ силы, действующие на ареометр в
положении, показанном на рис. 8.8, б. Результирующая сила
Fx = mg-Fk = mg-pg(l + x)S, или с учетом условия равновесия (1)
Fx = - pgxS,
направлена к положению равновесия и пропорциональна смещению х прибора
относительно этого положения. Поэтому ареометр будет совершать
гармонические колебания, при которых сила Fx связана со смешением х
зависимостью
Fx = - кх,
где к - коэффициент возвращающей силы. Следовательно,
fc=pgS.
Используя выражение для периода гармонических колебаний через коэффициент
возвращающей силы ____
Г= 2nJf,
получим ,----
______ Т=2пу-.
• Ответ'. Т= 2 W m . Р ? ^
PgS
8.12. Набухшее бревно постоянного сечения плавает в воде в вертикальном
положении так, что над водой находится лишь малая по сравнению с длиной
часть бревна. Период малых вертикальных колебаний бревна Т= 2 с. Найти
длину бревна. Силами вязкого трения пренебречь.
8.13. В воде плавает льдина, имеющая форму куба со стороной а = 50 см.
Льдину погружают на небольшую глубину (не потопляя ее полностью) и
отпускают, в результате чего она начинает совершать гармонические
колебания с амплитудой А = 5 см. Определить энергию колебаний льдины.
Плотность воды р= 103 кг/м3. Силами вязкого трения пренебречь.
8.14. Внутри гладкой сферической поверхности радиуса R = 10 см находится
небольшой шарик массой от = 10 г (рис. 8.9), который совершает
гармонические колебания. Наибольшее смещение шарика из положения
равновесия, измеренное вдоль поверхности сферы, равно Smax = 5 мм. Чему
равны циклическая частота и энергия колебаний шарика?
• Решение. При движении шарика на него будут действовать сила тяжести
mg и сила реакции Й Поскольку движение шарика происходит по дуге
окружности, то введем сопро-
9 Физика. Теория. Методика. Задачи
257
Рис. 8.9
вождающую систему отсчета (см. §4) и уравнение движения шарика запишем в
проекции на ось ОХ, направленную по касательной к траектории, maT = -
mgsina, нлн aT+gsina = 0. (1) Поскольку максимальное смещение шарика нз
положения равновесия равно то наибольшее значение угла a
"шах = Smax/R = °-05 * 2-87°
При столь малых углах sin ах а, где угол а выражен в радианах.
Длина дуги окружности радиусом R, соответствующая центральному углу а,
равна x = R а. Следовательно, уравнение (1) примет вид
ат + ^ х = 0, илн aT + Oq х = 0, (2)
где циклическая частота
о>0 g/R *9,9 рад/с. (3)
Рассмотрим второй способ определения ю0.
Поскольку при движении шарика механическая энергия сохраняется
(единственная сторонняя сила N направлена перпендикулярно траектории и
работы не совершает), то энергия шарика прн максимальном смещении из
положения равновесия ?тах = т g hmax равна энергии ?=l/imv2 + mgfi в
момент времени, когда шарнк находится на высоте h-R-R cos а (рнс. 8.9,
нулевой уровень отсчета потенциальной энергии выбран на уровне нижней
точки сферы): 2
^y- + mgtf(l - cosa) = mgAmax. (4)
Взяв производную по времени от обеих частей (4), получим
Предыдущая << 1 .. 104 105 106 107 108 109 < 110 > 111 112 113 114 115 116 .. 290 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed