Физика. Теория. Методика. Задачи - Демков В.П.
Скачать (прямая ссылка):
величину Дх. В положении равновесия груза
m? = Fynpi +Fynp2' ^ m8 = k\ Дх + *2Дх. (3)
Если заменить систему пружин одной эквивалентной пружиной жесткостью
кпар, ко-
торая под действием силы тяжести груза массой m также растянется на
величину Дх, т.е.
""=*п^Дх,
то с учетом (3) получим
Дг + *2 Дг = *парДг, или *пар = *i+*j-Период колебаний фуза массой т,
подвешенного на такой пружине,
Т^2п'Г^ = 2п'Г1Г
1 пар"
Следовательно,
~пар
к]+к2
Ответ:
1 поел
'пар
к\+к2 ¦fk~k'
^пар V кх к2
8.38. К оси подвижного блока, подвешенного на нерастяжимой нити АВ,
соединенной с двумя пружинами жесткостью = 10 Н/м и = 20 Н/м, прикреплен
груз массой т = 100 г так, как показано на рис. 8.17, а. Блок может
свободно скользить по нити. Пренебрегая трением в оси блока и его массой,
определить период малых колебаний фуза.
• Решение. Сложность задачи состоит в том, что блок висит на нити, по
которой он может скользить, и при движении груза пружины (в зависимости
от их жесткости) будут растягиваться на разные величины. Поэтому _
пружины нельзя заменить одной эквивапент-/уПр2 ной пружиной жесткостью
?пар = кх + к2 (см. решение задачи №8.37).
Запишем условия равновесия груза и блока (рис. 8.17, а):
mg= Т0,
Т - F I | - г.
упр 1'
упр 2>
или
Рис. 8.17
tng - ^упр 1 + ^упр 2' ^упр I - ^упр 2- 0) Здесь и далее индекс "0"
(вверху или внизу) соответствует равновесию, индексы "1" или "2"
относятся к соответствующим пружинам.
Для определения периода колебаний груза заставим его двигаться. Для этого
сместим груз из положения равновесия на малую величину и отпустим.
266
При движении груза иа него будут действовать силы тяжести и натяжения
иити. Рассмотрим произвольный момент движения груза, например, когда он
смещеи относительно положения равновесия вниз иа величину х (рис. 8.17,
б). При этом пружина жесткостью кх относительно положения равновесия
будет растянута иа xj, а пружина жесткостью -на х2.
Выберем начало отсчета системы координат на оси блока в положении
равновесия, а ось ОХ направим вниз. Запишем уравнение движения груза
та = т g+Т
в проекции на выбранную ось:
max-mg-T. (2)
Поскольку
T~TI+T2, T, = Fyn р" Т2 = Fynp 2 (3)
И
^упр 1 = ^упр 1 + к} *1' ^упр 2 = ^упр 2 + *2 Х2' (4)
то уравнение (2) можно записать в виде
max = mg - (Fy°np ,+*,*,)- (Fy°np 2 + к2 х2), или с учетом условий
равновесия (1)
max = -k-ix^-k2 х2. (5)
Растяжения х, и х2 пружин связаны с величиной х выражением
х= Vi С*! +*2>- (6)
Так как Г, = Т2> то из (3) - (4) получим
^упр 1 "*"^1*1 = '^упр 2 ^2 *2' Х\ ~ к^Х2' (7)
Выразив растяжения пружин х, и х2 нз (6) - (7)
(8)
кх+кj кх+кг
уравнение (5) перепишем в виде
2 2 кх 2 тах = -к, ------ х-к2------- х, или ях + а>оХ = 0,
л)' 4 к, к2 " к'+к2 к>+к:
где ип = '------------циклическая частота колебаний груза, которая
связана с периодом
т(кх+к?
соотношением
j 2%
wll
Следовательно,
Г= 2 я У -тт~~,- * 0,38 с.
4 kt к2
Рассмотрим второй способ определения ю0.
Поскольку при движении груза механическая энергия сохраняется, то энергия
?тах системы при максимальном смещении груза из положения равновесия
равиа энергии
E=s?_mgx+kjb+* / +
в момент времени, когда груз находится в положении, показанном иа рис.
8.17, б (нулевой уровень отсчета потенциальной энергии выбран в положении
равновесия груза; х, 0 и х2 -растяжения пружин в положении равновесия
груза):
ли2 *1 (х, +xI0)2 k2(x2+x2f
-----mgx +--------------------Y~S:~ = Em(tm)- (9)
С учетом (8) выражение (9) примет вид
Г 2*, 12 г 2*. ,2
Взяв производную по времени от обеих частей (10), получим
| 2k. 1 24, г 2Л, 1 2А,
mu^-wgu + A.j--- х + х10\-- о + МгТГ х + х2о\--го = 0.
л,| -г ^2 ".j т 1^2 Л| т #vj I i^2
или , ,
[ 4 A, А? 4 AT А, i 2 к, к,
(,1)
Используя условия равновесия (1) в виде
mg = k,x, о + *2 ^2 о> к1хю = к2х2о-
находим
* = х = "1 П2л
¦О 2*,' 2° 2*2' ( }
С учетом (12) выражение (11) примет вид
4 А, *2 2 А, к2 j т g mg
тах+~,-rx~ms+--Г ТГ+ТТ
к |+^2 I ^ I ^2
ИЛИ
4 А, ^2 4 А, ^2
/я яг н---------------- х = 0; д. н--------------------------------------
---х = О,
А, + А2 т (А, + Aj)
д I 4 А,
где '----------= и" - циклическая частота колебаний груза.
ж (А, + А2)
Рассмотрим, наконец, третий способ определения частоты и периода
колебаний. Спроецируем на ось ОХ силы, действующие на груз в положении,
показанном на рнс. 8.17, б. Результирующая сила
Fx = mg-T
с учетом соотношений (3) - (4), (8) и условия равновесия (1) может быть
представлена в виде
Fx = mg-Fy"pi-Fynp2 = mg-(Fynp , + А, х,) - (Fy0np 2 + k2x2) = -k]xl-
k2x2,
ИЛИ " ,2*2 , 2 A, 4 A, k2
Fr = - A,-----x - A,-------x --------x.
A, + k2 A, + A2 A, + A2
Как видим, сила направлена к положению равновесия (т.е. является
возвращающей) и пропорциональна смещению х фуза относительно этого
положения. Поэтому груз будет совершать гармонические колебания, при
которых сила Fx связана со смещением х зависимостью
Fx = -kx,
где А - коэффициент возвращающей силы. Следовательно,
4 A, A, 4 А, А,
