Физика. Теория. Методика. Задачи - Демков В.П.
Скачать (прямая ссылка):
системы, называемый коэффициентом восстанавливающей (возвращающей) силы),
то из сравнения (8.14) с выражением для силы при гармонических колебаниях
(8.13) следует, что
к=та о (8.15)
и циклическая частота гармонических колебаний
Щ=^, (8-16)
а период колебаний
= 2я=2лЛ/^
Т= - = 2пЧ:у. (8.17)
ю0 к
Как видим, частота и период колебаний зависят только от свойств системы
(жесткости закрепления тела около положения равновесия и от
241
его массы), но не от амплитуды колебаний. Одно и то же тело, производя
колебания с разной амплитудой, совершает их с одинаковой частотой. Это
очень важное свойство гармонических колебаний. Напротив, амплитуда
колебаний А и начальная фаза а определяются не только свойствами
колеблющейся системы, но и начальными условиями ее движения, т.е.
начальным смещением из положения равновесия х0 = х (t = 0) и начальной
скоростью и0 = их (/ = 0). Так, подставив х0 и и0 в (8.2) и (8.8),
получим
хп = A cos а,
° . (8.18) и0 = - А ю0 sin а,
Решив систему уравнений (8.18) относительно А и а, находим
V, и0 Щ
xq + 2, а = - arctg---------. (8.19)
Ю0 юо*о
Если систему каким-либо образом заставили совершать колебания (например,
сместив из положения равновесия на х0 или сообщив начальную скорость и0)
и предоставили самой себе, то возникающие колебания называют собственными
колебаниями, а частоту колебаний - собственной частотой.
Используя выражение для возвращающей силы (8.14), нетрудно найти
потенциальную энергию колеблющейся частицы. Будем считать, что
потенциальная энергия U (х) равна нулю в положении равновесия х = 0
(нулевой уровень потенциальной эниэгии). По определению потенциальной
энергии она равна работе силы F(x) при перемещении частицы из смещенного
положения х на нулевой уровень
UX = A(F). (8.20)
Поскольку сила F (х) направлена к
0 1^ м X положению равновесия (рис. 8.3) и ли-
С/(0)= 0 * нейно зависит от х, то ее работа при
таком смещении будет положительной
Рис 8 3 и равна (см. §3)
F(x) + F(0) kx1
A = <F>(x- 0)= 2- х = ~2~ ¦ (8.21)
Следовательно, потенциальная энергия гармонического осциллятора
kx2
и=Ц~, (8.22)
или, учитывая (8.15),
тапх
U = -j-. (8.23)
Кинетическая энергия осциллятора
т и2
Т=--^. (8.24)
Подставив (8.2) и (8.8) в (8.23) и (8.24), получим
mal А2 , m<alA2 п
U = ---cos (ю0/ + а), Т=-г-sin (ю0; + а), (8.25)
242
т.е. и потенциальная, и кинетическая энергии частицы в процессе колебания
изменяются со временем, причем таким образом, что когда одна из них
увеличивается, другая - уменьшается. Полная же энергия гармонического
осциллятора
E=T+U=-
m ml А2
кАА
- = const
(8.26)
2 2
остается все время постоянной и равной максимальной кинетической энергии
" ">о'
Т = 1 шах
m Шл А2
или, что то же самое, максимальной потенциальной энергии
Цпах
(8.27)
(8.28)
Другими словами, процесс колебаний связан с периодическим переходом
энергии из потенциальной в кинетическую и обратно. Средние же (за период
колебаний) значения потенциальной и кинетической энергий одинаковы и
каждое из них равно ^ Е:
<T> = <U>=l/zE.
(8.29)
Математический маятник В качестве примера гармонических коле
баний рассмотрим малые колебания математического маятника - материальной
точки массой т, подвешенной на невесомой и нерастяжимой нити длиной / в
поле тяжести Земли. Когда маятник висит вертикально (рис. 8.4), сумма сил
(силы тяжести Земли m~gvi силы натяжения нити /?), действующих на
частицу,
^=т^+Я = 0, (8.30)
т.е. частица т находится в равновесии.
Сместим частицу из положения равновесия по дуге окружности радиусом / на
величину
х = IQ, (8.31)
где 0 - угол отклонения нити. При этом сила тяжести т ? останется без
изменений, в то время как сила натяжения нити R 'изменится не только по
направлению, но и по величине, в результате чего результирующая сила F,
действующая на частицу, станет отличной от нуля и будет направлена к
положению равновесия (т.е. эта сила возвращающая, а положение равновесия
устойчивое). Из рис. 8.4 видно, что
Fx = - т g sin 0, (8.32)
или, используя (8.31),
Fx = -m g sin (*//). (8.33)
243
?х"-1 (8-34)
Из (8.33) видно, что возвращающая сила Fx не зависит от х по линейному
закону. Следовательно, колебания математического маятника в общем случае
не являются гармоническими. Однако в случае малых колебаний, когда
выполняется условие х "/, отношение x/l" 1 и sin {х/1) ~ х/1. Поэтому при
малых колебаниях возвращающая сила
mgx I
линейно зависит от х, причем коэффициент возвращающей силы
к = (8.35)
Таким образом, при малых смещениях от положения равновесия математический
маятник колеблется по гармоническому закону
х (0 = A cos (со01 + а)
с частотой
со0 =>Д (8.36)
и периодом т
2 я I Г T=-^- = 2n'I-L . (8.37)
0 8
Отметим, что длина маятника с периодом колебаний Т0 = 1 с (для
стандартного значения ускорения свободного падения вблизи поверхности
Земли g0 = 9,8 м/с2) равна 24,8 см.
Если маятник находится в глубокой шахте на глубине h или на вершине горы
высотой h (не на борту спутника!), то его период колебаний будет
