Физика. Теория. Методика. Задачи - Демков В.П.
Скачать (прямая ссылка):
колебаний.
Для того чтобы тело пришло в движение, можно: а) сместить его из
положения равновесия на величину х0 н предоставить самому себе; б)
сообщить ему некоторую начальную скорость о0 в направлении возможного
движения; в) сделать то и другое, т.е. задать начальное смешение х0 и
сообщить скорость и0. При этом х0 н о0 называют начальными условиями
движения.
Если значения х0 н о0 известны (заданы или определены нз дополнительных
условий задачи), то амплитуда А н начальная фаза а колебаний могут быть
найдены с помощью формул (8.19). Как следует из (8.19), если в начальный
момент движения тело было смешено из положения равновесия и отпущено без
начальной скорости, то начальная фаза колебаний равна нулю, если же х0 =
0, а и0 * 0, то начальная фаза а = - х/2 п. Следует отметить, что
соотношения (8.19) справедливы лишь для маятников, совершающих
гармонические колебания по закону косинуса. Если же колебания происходят
по закону синуса, то формула для амплитуды не изменится, а начальную фазу
следует искать по формуле а = arctg (со0 х0/и0).
Если найдены циклическая частота колебаний, их амплитуде н начальная
фаза, то, записав уравнение колебаний, можно найти любые характеристики
системы.
Наконец, могут встретиться задачи, в которых тело, совершающее
гармонические колебания, подвергается воздействию внешней периодически
изменяющейся силы. При этом в системе будут наблюдаться вынужденные
колебания, амплитуда которых зависит от частоты вынуждающей силы в
соответствии с формулой (8.62). Если затухания в системе малы, то прн
совпадении частоты вынуждающей силы с собственной частотой со0 в системе
будет наблюдаться резонанс, при котором амплитуда колебаний достигнет
максимально возможных значений (8.63). При решении задач, в которых на
тело в процессе колебаний действует какая-либо внешняя периодическая
сила, кроме собственной частоты со0, требуется определить частоту со этой
силы по условию конкретной задачи. Дальнейшее решение может быть основано
на формулах (8.61) - (8.65).
' Задачи
Гармонические колебания
8.1. Частица совершает гармонические колебания по закону х = 0,4 sin (п
t + */б п) [см].
Какой путь пройдет частица за Д/= Ч/б с после начала движения?
• Решение. Как следует из закона движения, частица будет совершать
колебания с частотой ю0 = тс рад/с, периодом Т-2 п/ю0 = 2 с и амплитудой
А = 0,4 см. Поскольку при гармонических колебаниях частица возвращается в
исходное положение через промежутки времени,
252
равные периоду колебаний, то при движении она обязательно
разворачивается. Как известно, в точках разворота скорость частицы равиа
нулю. Зависимость скорости частицы от времени найдем, взяв производную по
времени от закона движения:
и = ^ = 0,4 л cos (п / + Vis я). at
В точках разворота и(/р) = 0, т.е.
0 = 0,4 л cos (л /р + Vk 7г).
Следовательно, частица будет менять направления движения в моменты
времени, удовлетворяющие условию
п/р+'/6л='/гл + пл, где л = 0, 1,2......
Отсюда находим
tp, = ,/>c; tp2 = 4/>c; /рз = %снт.д Поскольку за время от /0 = 0 до т =
At частица совершает два разворота (в моменты времени /р] н /р2), то
путь, пройденный частицей за время At (см. §1, решение задачи №1.26),
AS = Д5, + Д52 + AS3,
где AS, - путь, пройденный от начала движения t0 до момента разворота
/рДS2 - путь, пройденный от момента fp, до момента времени fp 2; ДS: -
путь, пройденный от момента /р 2 до момента времени т:
= |x('pi)-*('o)l; Д52 = |х(/р2)-х(<р1)|; Д53 = | х
(т) -х (/р2) I,
илн
Д5, = | 0,4 sin (n /р, + '/б л) - 0,4 sin (я /0 + % л) I = I 0,4 sin (V2
л) - 0,4 sin ('/б л) | = 0,2 см;
ДS2 = | 0,4 sin (я /р 2 + */б л) - 0,4.sjn (71 /р , + % л) | = | 0,4 sin
(3/5 л) - 0,4 sin ('/2 л) \ = 0,8 см;
Д53 = | 0,4 sin (я т + % я) - 0,4 sin (л /р 2 + 1/б я) I = I 0,4 sin (2
л) - 0,4 sin Q/2 я) | = 0,4 см. Следовательно,
AS = 1,4 см.
• Ответ: AS = 1,4 см.
8.2. Материальная точка совершает гармонические колебания по закону
jc = 7 sin п t [см].
Через какое время после начала движения точка пройдет путь от положения
равновесия до максимального смещения?
8.3. Материальная точка совершает гармонические колебания по закону
х = 0,1 sin (2 я 0 [м].
Найти среднюю путевую скорость точки: а) за половину периода; б) за
первую •/& часть периода; в) за вторую Vs часть периода.
8.4. Частица совершает гармонические колебания по закону
х = А sin (2 я t + 1/б п) [м], где А - известная постоянная. В какие
моменты времени кинетическая энергия частицы равна потенциальной?
• Решение. Прн гармонических колебаниях частица через равные
промежутки времени будет возвращаться в исходное состояние, поэтому
значения ее координат и скоростей будут повторяться. Поскольку
кинетическая энергия частицы зависит от ее скорости, а потенциальная - от
координаты, то, очевидно, значения этих энергий также будут повторяться.
Так
253
как при гармонических колебаниях полная механическая энергия частицы ие
меняется, то кинетическая и потенциальная энергии будут изменяться со
