Физика. Теория. Методика. Задачи - Демков В.П.
Скачать (прямая ссылка):
этого момента времени.
3. Скорость тела изменяется со временем по такому же гармоническому
закону, что и его координата, но изменение скорости "опережает по фазе"
изменение координаты на величину 1/2 т е. в те моменты времени, когда
смешение тела относительно положения равновесия достигает максимальных
значений (крайние точки), скорость тела равна нулю, н, наоборот, - в
положении равновесия скорость тела максимальна и равна отах = со0Л.
Скорость тела в любой момент движения направлена по касательной к
траектории в сторону движения, а ее величина определяется выражением
(8.8).
4. Ускорение тела изменяется со временем по такому же закону, что н
его координата и скорость, но изменение ускорения "опережает по фазе"
изменение координаты на величину тс, а скорости - на величину '/2 К т.е.
в те моменты времени, когда смешение тела относительно положения
равновесия максимально, его ускорение также максимально и равно атах = Мд
А, а в положении равновесия ускорение равно нулю. Следует помнить, что
при гармонических колебаниях ускорение тела всегда напраалено к положению
равновесия (т.е. противоположно смешению) и в произвольный момент времени
определяется выражением (8.10) или (8.11).
5. Потенциальная и кинетическая энергии тела в процессе движения
изменяются по законам (8.25), причем таким образом, что когда одна из иих
увеличивается, другая - уменьшается. Потенциальная энергия имеет
максимальное значение (Утах = А2 = ^тсо^А2 в крайних точках, а
кинетическая Ттях = ^т2 и2= ^ т (ОдА2 - в положении равновесия. Полная
энергия при гармонических колебаниях остается постоянной и равной
максимальной потенциальной (Утах илн максимальной кинетической Гтах
энергии. Средние за период колебаний значения потенциальной н
кинетической энергий одинаковы и равны половине полной энергии.
В ряде задач этого параграфа, прежде чем приступить к определению тех илн
иных характеристик колеблющейся системы, необходимо составить уравнение
гармонических колебаний
x = Acos (со01 + a),
249
в которое входят три величины - амплитуда А, начальная фаза а и
циклическая частота ю0 - значения которых требуется определить из условий
конкретной задачи.
Для определения частоты колебаний существует несколько способов. |Иожно:
- привести уравнение движения тела к виду
"х + "о* = 0>
которое называют дифференциальным уравнением гармонических колебаний;
- использовать теорему о полной механической энергии и полученное
выражение продифференцировать по времени. В результате также получим
дифференциальное уравнение колебаний;
- использовать связь восстанавливающей силы со смещением (8.14), а
циклическую частоту определить через коэффициент возвращающей силы в
соответствии с (8.16).
Для определения частоты гармонических колебаний первым способом можно
придерживаться следующей схемы:
а) сделать схематический чертеж, на котором изобразить тело, колебания
которого исследуются, в положении равновесия. Мысленно заменить данное
тело телом другой массы. Если прн этом положение равновесия изменится, то
следует записать условие равновесия данного тела. Если же при замене тела
положение равновесия останется прежним, то условие равновесия можно не
писать;
б) мысленно сместить тело нз положения равновесия н отпустить.
Представить, по какой траектории будет двигаться тело, предоставленное
самому себе, и изобразить на рисунке положение тела в произвольный момент
движения (исключая положение равновесия и крайние точки). Изобразить на
чертеже все силы, действующие на тело в данный момент движения;
в) ввести удобную систему координат, одну нз осей которой (например,
ось ОХ) направить вдоль движения в сторону увеличения смещения;
г) записать уравнение движения тела
в проекции на выбранную ось в виде *
N
тах = -? FKX,
К= I
д) записать результирующую силу Fx = 2^= \FKX с учетом условия
равновесия и дополнительных условий задачи (например, условия малости
колебаний, которое означает, что смещения тела относительно положения
равновесия малы по сравнению с другими размерами системы). При этом два
или более слагаемых в 2^= i FKX должны сократиться, а результирующая сила
Fx приобрести вид Fx = - к х, где к - некоторая положительная постоянная.
В этом случае сила Fx будет возвращающей и будет выполнено условие
(8.14), необходимое для наличия гармонических колебаний, а уравнение
движения тела примет вид тах + кх = 0, или а^ + соох = 0, где со0 =V к/т
- циклическая частота колебаний.
Рассмотрим, как можно получить значение частоты со0 колебаний, используя
теорему
о полной механической энергии. Для этого следует:
а) выполнить пункты a-в, записанные для первого способа;
б) если при движении тела меняется его высота относительно поверхности
Земли, то следует выбрать нулевой уровень отсчета потенциальной энергии
на уровне положения равновесия тела (такой выбор не обязателен, но
наиболее удобен);
в) записать теорему о полной механической энергии
Е\= А (/гСТОр)
