Физика. Теория. Методика. Задачи - Демков В.П.
Скачать (прямая ссылка):
случае достаточно всего одной координаты; в качестве таковой можно
выбрать, например, расстояние вдоль кривой от некоторой точки,
используемой в качестве начала отсчета. Обозначим эту координату буквой
х. Силы, действующие на частицу, в этом случае будут зависеть от этой
единственной координаты.
Гармонические колебания
Поскольку простейшими периодическими функциями являются
тригонометрические функции синус и косинус (их период равен 2я), то
простейшим одномерным периодическим движением будет такое движение
материальной точки, при котором ее координата х изменяется по закону х
(t) = A cos (а>01 + а), х (?) = A sin (ю01 + а), (8.2)
где А, ю0, а - некоторые постоянные величины.
Такое периодическое движение называется гармоническим колебательным
движением, а частица, совершающая гармонические колебания, -
гармоническим осцилляторам.
Величины А и ю0 имеют простой физический смысл. Так как период косинуса и
синуса равен 2п, то период движения Т (период колебаний) связан с ю0
соотношением
2 п
Г= -. (8.3)
ю0
Это соотношение легко получить из условия, что частица в моменты времени
t vi(t+T) имеет одинаковые координаты
x(t) = x(t+ Т). (8.4)
Из (8.3) и (8.1) вытекает, что
. со0 = у = 2яу. (8.5)
239
Величину ci)0 называют циклической
щ____f_____. (круговой) частотой. Единица измере-
_________"1 ния циклической частоты - радиан в се-
\ /Т\ кунду [рад/с].
\ / ; \ t Максимальное значение координа-
-V-;-/7+"7\-1-7-----------*" та х называется амплитудой колебания.
\ J / \ ! / Так как максимальное значение косину-
___Л!/._______Л!/ са и синуса равно единице, то максимальное
значение координаты х при гармо-Рис 8 1_____________________нических
колебаниях равно А (рис. 8.1).
Аргумент косинуса или синуса в (8.2)
(р (?) = ю01 + а (8.6)
называют фазой колебаний. Из (8.6) следует, что
<х = <р(/ = 0), (8.7)
поэтому постоянную а называют начальной фазой.
Из (8.2) (мы будем везде в дальнейшем использовать первую формулу для х
(0) легко найти скорость частицы, совершающей гармонические колебания.
Взяв производную по времени от (8.2), получим dx
их = - = - А ю0 sin (ю01 + а) = А ю0 cos (ю01 + а + V5 л). (8.8)
Как видим, при гармонических колебаниях скорость частицы также
изменяется по гармоническому закону, но изменение скорости "опережает по
фазе" изменение координаты на величину п. Иначе говоря, разность фаз
колебаний скорости и координаты равна */5 п. При этом в те моменты
времени, когда координата х достигает максимальных значений ±А, скорость
частицы обращается в нуль, и наоборот. Максимальное значение скорости (ее
амплитуда) равно
итах =(r)о- д, (8-9)
Выясним, какова должна быть результирующая сила Fx = i FKX, действующая
на частицу, чтобы она совершала гармонические колебания. Найдем для этого
ускорение частицы при таком движении. Продифференцировав (8.8) по
времени, получим
dvx ,
ах = = - А ю0 cos (ю01 + а), (8.10)
или с учетом (2)
ах = ~ юо х = А (r)o cos ((r)о? + а + п)- (8.11)
Из (8.11) видно, что ускорение изменяется со временем по такому
же
закону, что и координата частицы, но фаза колебаний ускорения отлича-
ется от фазы координаты на я. Наибольшее значение ускорения
ашах = А (r)0' (8.12)
Из второго закона Ньютона для частицы массой т
к*= 1
записанного в проекции на направление движения частицы
240
m ax = Fx>
с учетом (8.11) получим
Fx = - т Юц х. (8.13)
Таким образом, для того чтобы частица совершала гармонические колебания,
действующая на нее результирующая сила должна быть пропорциональна
величине смещения частицы и направлена в сторону, противоположную этому
смещению. Такую силу называют восстанавливающей (или возвращающей).
Зависимость силы от положения частицы (8.13) встречается в физических
задачах очень часто. Если какое-либо тело находится в положении
устойчивого равновесия (пусть это будет точка х = 0), то в этом положении
F = Ик= 1 FKX = 0, а при смещении тела из этого положения в ту или другую
сторону возникнет отличная от Fx
нуля результирующая сила F, действующая на тело и стремящаяся вернуть его
в положение равновесия. При этом график зависимости Fx (х) будет иметь
вид некоторой кривой: в точке х = 0 сила Fx = 0, а по обе стороны от этой
точки она имеет противоположные знаки (рис. 8.2). Рис 8 2
В общем случае зависимость возвращающей силы от х не является линейной.
Это означает, что хотя тело и будет совершать колебания около положения
равновесия, но колебания не будут гармоническими. Однако при небольших
смещениях тела из положения равновесия отрезок кривой Fx вблизи х = 0
можно всегда приближенно заменить отрезком прямой линии так, что сила Fx
окажется пропорциональной величине отклонения лг, и колебания тела будут
гармоническими. Частота этих колебаний определяется жесткостью
закрепления тела, характеризующей связь между силой и смещением. Если
сила связана со смещением по линейному закону
Fx = -kx (8.14)
(где к - некоторый коэффициент, определяемый свойствами рассматриваемой
