Физика. Теория. Методика. Задачи - Демков В.П.
Скачать (прямая ссылка):
^ Рж 2 Рж
7.56. Цилиндрический тонкостенный стакан массой т плавает в жидкости,
погруженный в нее на половину своей высоты. Какую минимальную работу
необходимо совершить, чтобы его утопить? Высота стакана равна Я. Ось
стакана вертикальна.
7.57. Рыболовный поплавок, представляющий собой однородную цилиндрическую
палочку площадью поперечного сечения 5 = 50 мм2 и длиной / = 8 см,
плавает в воде, образуя угол а = 45° с ее поверхностью. Какую минимальную
работу необходимо совершить рыбе, чтобы поплавок плавно лег на
поверхность воды? Плотность воды рв = 103 кг/м3 в четыре раза больше
плотности материала поплавка. Масса грузила, прикреплен-
234
ного к нижнему концу поплавка, равна т= 12 г. Размерами грузила
пренебречь.
7.58. В водоеме с глубины й= 10 м всплывает деревянный цилиндр радиусом
Й=1 ми высотой Я =0,8 м. Какое количество теплоты выделится к моменту
окончания движения цилиндра и воды? Ось цилиндра все время остается
перпендикулярной поверхности воды. Плотность воды р" = 103 кг/м3,
древесины - рд = 800 кг/м3. ^
Ао
.Атах
У/уу Ж
-mg:
")
• Решение. При движении цилиндра на него действуют две силы: сила
тяжести mg и сила Архимеда ?А, причем при движении до уровня поверхности
воды сила Архимеда будет оставаться постоянной и равной максимальному
значению =Рв (гае S=tiR~ -
площадь поперечного сечения цилиндра), а при переходе гранииы поверхности
воды сил а Архимеда будет меняться по линейному закону (см. решение
задачи №7.55).
Поскольку плотность древесины меньше плотности воды, то ^Amax >mg.
Поэтому до положения равновесия цилиндр будет подниматься с ускорением,
направленным вертикально вверх. Приобретя к этому моменту времени
некоторую скорость, цилиндр "проскочит" выше положения равновесия, где
FA<mg, а затем опустится ниже него, где FA>mg, и т.д. При этом каждый раз
часть механической энергии цилиндра будет переходить во внутреннюю
энергию тела н воды (в тепло), и через достаточно большой промежуток
времени цилиндр займет положение равновесия, где силы тяжести и Архимеда
уравновесят друг друга (рис. 7.44, в):
FA0=m8' или PBSSx = PaSSH- (О
Поскольку при движении цилиндра на него действует переменная сила
Архимеда, то для решения задачи воспользуемся теоремой о полной
механической энергии системы в виде
Д? = Л(*ст0р), (2)
где изменение механической энергии цилиндра равно изменению его
потенциальной энергии (рис. 7.44, а, в)
ДE = mg(h-x), (3)
а работа сторонних сил
^(W = ^(FAmax) + ^^A)-& (4)
Первое слагаемое в выражении (4) соответствует работе постоянной силы
Архимеда
FAmm = рв gSH при движении цилиндра до поверхности воды
A(FAmax)=FAms,(t>-H) = pagSH(h-H). (5)
Второе слагаемое - работе переменной силы Архимеда, среднее значение
которой
равно
ptgSH+ptgSx <fa> =----------5--------'
235
прн переходе границы поверхности воды до положения равновесия цилиндра
PmgSH+p-gSx
А ^Ашах> = < ^А > (*"*> = (*"*)¦ (6)
Наконец, третье слагаемое - это и есть искомое количество теплоты: знак
"-" перед Q соответствует тому, что тепло выделяется за счет уменьшения
механической энергии системы.
С учетом (3)-(6) уравнение (2) примет, вид
p-gSH+o-gSx
mg(h-x) = pBgSH(h-H)+-l----------^------- (H-x)-Q. (7)
Выразив массу цилиндра через плотность и объем (т = рд5 Я = рдя R2 Я),
уравнение (7) с учетом условия равновесия цилиндра (1) запишем в виде
pai:R2Hg{h-^} = pBgSH(h-H) +PegSH+P--SH Рв
Отсюда находим
Q = (Рв - рд) [2рв h - (Рв + Рд) Я ] }" 45,7 кДж.
L Рв
• Ответ. Q = n%R-- {(Рв - Рд) [2рв h - (рв + рд)Я] }" 45,7 кДж.
А Рв
7.59. Пластмассовый кубик со стороной а = 4 см плавает в жидкости,
погрузившись в нее на треть своего объема. На какую высоту над уровнем
жидкости подпрыгнет кубик, если его полностью погрузить в жидкость так,
чтобы верхняя грань совпала с уровнем жидкости, и отпустить?
7.60. Льдина площадью поперечного сечения 5 = 4 м2 и толщиной h = 0,4 м
плавает в воде. С какой наименьшей высоты должен прыгнуть на льдину
человек массой т = 60 кг, чтобы она затонула? Плотность льда рл = 900
кг/м3, воды - рв = 103 кг/м3.
7.61. В цилиндрический сосуд радиусом R, частично заполненный жидкостью,
падает цилиндрическая пробка радиусом г и высотой h. Начальная высота
нижней поверхности пробки над уровнем жидкости Н (рис. 7.45). Какое
количество теплоты выделится к моменту окончания движения жидкости и
пробки? Плотность
пробки р, плотность жидкости рж > р. На-
чальная скорость пробки равна нулю.
Движение идеальной жидкости
7.62. Определить разность давлений в широком и узком (d, = 9 см,
d2 = 6 см) коленах горизонтальной трубы (рис. 7.46), если вода в
широком
колене течет со скоростью U] =6 м/с. Плотность воды рв = 103 кг/м3.
• Решение. Считая воду идеальной несжимаемой жидкостью, запишем
уравнение Бернулли
для горизонтальной линии тока ОО' , ,
Рв °[ Рв °2
илн с учетом выражений для поперечных сечений трубы (S, = % л d\\ S2 = %
ти d%)
(где o2 - скорость течения воды в узком колене трубы; рхнрг- давления в
