Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Демков В.П. -> "Физика. Теория. Методика. Задачи" -> 105

Физика. Теория. Методика. Задачи - Демков В.П.

Демков В.П., Третьякова О.Н. Физика. Теория. Методика. Задачи — М.: Высшая школа, 2001. — 669 c.
Скачать (прямая ссылка): fizikateoriyametodikazadachi2001.djvu
Предыдущая << 1 .. 99 100 101 102 103 104 < 105 > 106 107 108 109 110 111 .. 290 >> Следующая

движение тела так, как если бы оно происходило совершенно
беспрепятственно. Однако если движение происходит в какой-либо среде, то
эта среда оказывает сопротивление движению, стремясь замедлить его.
Процесс взаимодействия тела со средой можно описать введением силы
сопротивления, направленной в сторону, противоположную скорости движения
тела (см. §2). При достаточно малых скоростях движения сила сопротивления
пропорциональна скорости тела Т?
4пр = -^. (8.55)
где г - положительная постоянная (коэффициент сопротивления),
характеризующая взаимодействие тела со средой.
Выясним, как влияет наличие такого взаимодействия на колебательное
движение. Будем считать при этом, что сила сопротивления настолько мала,
что вызываемая ею потеря энергии АЕ за время одного периода колебаний Т
относительно мала, т.е. | АЕ/Е\ " 1.
Потеря энергии АЕ равна (см. §3) работе силы сопротивления
А? = <^сопр>А5 = -г<и2>Г=-2^<^>Г, (8.56)
где <1^ии2>- среднее значение (за период колебаний) кинетической энергии,
равное половине полной энергии колебаний (см. выражение (8.29)):
m и Е с 2 > 2 ' ^ ^
Подставив (8.57) в (8.56), получим
М = _2у7--^, (8.58)
t, со0
где у = г/2т - коэффициент затухания.
Можно показать, что при наличии силы сопротивления (8.55) полная
энергия системы убывает со временем по закону
Е = Е0е~2у\ (8.59)
где ?0 - значение энергии в начальный момент времени.
Во всякой реальной колебательной системе всегда происходят те или иные
процессы трения. Поэтому свободные колебания, возникающие в системе, с
течением времени затухают. Для того чтобы возбудить неза-
247'
тухающие колебания, необходимо компенсировать потери энергии,
обусловленные трением. Такая компенсация может производиться внешними (по
отношению к колебательной системе) источниками энергии. Простейшим
случаем является воздействие на систему переменной внешней силы ^в"еш,
изменяющейся со временем по гармоническому закону
^внеш = Fo cos (r) ' (8-60)
с некоторой частотой со. Под влиянием этой силы в системе возникнут
колебания, происходящие в такт с изменением внешней силы; эти колебания
называются вынужденными.
Запишем уравнение этих колебаний в виде
х = A cos (со t - Р), (8.61)
где А - амплитуда, а р - некоторый сдвиг по фазе между вынуждающей силой
и вызываемыми ею колебаниями.
Можно доказать, что амплитуда вынужденных колебаний равна
FJm
А= , , U 2 2 ' <8-62)
_____ V (со - (c)о) + 4 у2 со2
где со0 = v к/т - частота собственных колебаний системы; у = г/2т -
коэффициент затухания. Из (8.62) видно, что амплитуда вынужденных
колебаний пропорциональна амплитуде вынуждающей силы F0 и существенно
зависит от соотношения между частотой этой силы со и собственной частотой
системы со0. На рис. 8.7 представлен график зависимости
амплитуды А от частоты со при малом затухании. Если коэффициент затуха-ч
ния у мал (по сравнению с собственной
частотой со0), то наибольшего значения
- амплитуда колебаний достигает при-
ш близительно при совпадении частот со и со0, или, как говорят, при
резонансе.
Рис. 8.7 При со = со0 максимальное значение
^max=2myo)0 (8'63)
обратно пропорционально коэффициенту затухания у. По этой причине при
резонансе нельзя пренебрегать трением в системе, даже если оно мало.
Кривая на рис. 8.7 называется резонансной кривой.
Сравним значение Amsji со смещением А", которое испытало бы тело под
действием постоянной (статической) силы, равной F0. Смещение АСТ можно
найти из общей формулы для амплитуды (8.62), положив в
ней со = 0 (при со = 0 сила FBHeni = F0 cos со f = F0):
= (8.64)
m co0
Отношение резонансного смещения к статическому равно
4=-?. (8.65)
" ст 2 у
248
Мы видим, что относительное увеличение амплитуды колебаний при резонансе
(по сравнению со статическим отклонением) определяется отношением частоты
собственных колебаний к коэффициенту затухания. Для систем с малым
затуханием это отношение может быть очень большим. Это обстоятельство
разъясняет огромное значение явления резонанса в физике и технике. Им
широко пользуются, если хотят усилить колебания, и всячески избегают,
если резонанс может привести к нежелательному росту колебаний.
Рекомендации по решению задач
При гармонических колебаниях движение тела может быть задано одним нз
уравнений: х = A cos (со0 / + а); х = А sin(co0/ + Р); х = А, sin со01 +
Л2 cos ш0 /,
где р = а + */2 =А cosa;^2 = -А sin а; Л = V А2+ А2 . Так как любое из
этих уравнений легко можно привести к виду двух других, ниже будем
использовать только одну из формул задания движения, например, первую.
Если известен закон движения тела (т.е. амплитуда, циклическая частота н
начальная фаза колебаний), то основные характеристики системы,
совершающей гармонические колебания, легко найти на основании
определений:
1. Период Т и частота v колебаний связаны с циклической частотой ш0
соотношениями (8.3) и (8.5).
2. Смещение тела относительно положения равновесия в произвольный
момент времени определяется уравнением движения (8.2), записанным для
Предыдущая << 1 .. 99 100 101 102 103 104 < 105 > 106 107 108 109 110 111 .. 290 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed