Физика. Теория. Методика. Задачи - Демков В.П.
Скачать (прямая ссылка):
при перемещении тела из начального положения в положение, соответствующее
смещению тела относительно положения равновесия на величину х. Поскольку
при определении час-
250
тоты колебаний мы сами задаем начальные параметры системы (иалример,
начальное смешение из положения равновесия), то начальная энергия будет
равна полной энергии колебаний, т.е. ?, = const. В произвольный момент
движения система будет иметь кинетическую энергию х/г т и2, потенциальную
U н полную Ег = ^ т и2 + U. Если при движении тело смешается по
вертикали, то его потенциальная энергия в поле тяжести Земли равна ±mgx,
где знак "+" соответствует положению тела выше положения равновесия, знак
"-" -ниже. Если тело совершает колебания на пружине жесткостью к, то в
выражение для U войдет также энергия пружины У2 к (х, + х)г, где х, -
деформация пружины в начальном положении. Поэтому в общем случае U = + т
gх + У2 к (х, + х)2. Если в процессе движения на тело действуют сторонние
силы, то следует найти работу этих сил на рассматриваемом перемещении. В
рамках школьной программы сторонние силы либо работы не совершают
(перпендикулярны направлению перемещения), либо линейно зависят от
величины перемещения (например, при колебаниях на границе раздела "воздух
- жидкость" сила Архимеда пропорциональна глубине погружения тела в
жидкость). В общем случае А (^стор) = ± '/2 (/"crop 1 + ^стор г) *' Где
Fciop 1 • ^стор 2 - значения сторонних сил в начальном и конечном
положениях тела, причем FCTOp 2 ~ х;
г) записать теорему о полной механической энергии в виде
гп и2 к(хх +х) (Fcrop 1 + ^стор г)
-j-±mgx +---------^-----Е) = ±-------с-j---- *
и взять производную по времени от левой и правой его частей с учетом, что
dx <ЛГ . dx . Л>2 _ Л> _ dEt
-г~ = u -^ = 2x - = 2xo; -^ = 2о-т- = 2оа..; -г- = 0.
dt dt dt dt dt x dt
В результате получим уравнение, которое с учетом условий равновесия
примет вид уравнения движения
ах + C0q х = О,
где коэффициент со0 - циклическая частота колебаний.
Рассмотрим, наконец, третий способ определения частоты со0 колебаний
через коэффициент возвращающей силы. Для этого нужно поступить следующим
образом:
а) выполнить пункты a-в, записанные для первого способа;
б) спроецировать силы, действующие на тело в произвольный момент
движения, на выбранную ось ОХ, и записать выражение для результирующей
силы в виде Fx - ?*= | FKX, в которое со знаком "плюс" войдут проекции
сил, направленных под острым углом к оси (т.е. направленных от положения
равновесия), а со знаком "минус" - проекции сил, которые составляют тупой
угол с осью (т.е. направлены к положению равновесия);
в) записать выражение для результирующей силы Fx с учетом условия
равновесия;
г) если сила Fx примет вид Fx = - к х, то тело будет совершать
гармонические колебания, при которых коэффициент к возвращающей силы
связан с циклической частотой со0 выражениями (8.15) - (8.16). Еелн Fx* -
кх, то следует учесть дополнительные условия задачи, чтобы привести Fx к
требуемому виду; д) по известному коэффициенту возвращающей силы
определить циклическую частоту колебаний.
Все три рассмотренных способа равноправны н приводят к одинаковому
результату. Однако второй способ наиболее сложен, поэтому к нему следует
прибегать только в крайних случаях.
Если исследуются колебания математического или пружинного маятника,
циклическая частота может быть определена через параметры системы (длину
нити, жесткость пружины и массу маятинка) с помощью формул (8.36) илн
(8.53) соответственно.
Период (и частота) колебаний математического маятника, находящегося в
шахте или иа горе, зависит от ускорения свободного падения в месте
нахождения маятника н может быть определен с помощью формул (8.38) или
(8.39). Если на математический маятник, кроме силы тяжести и силы
натяжения нити, действуют н другие внешние постоянные силы
251
Рк, то циклическая частота (или период колебаний может быть определена по
формуле (8.44) (или (8.45)), где = | g + i FK/m |. Такой внешней силой
может быть сила Архимеда (если маятник целиком находится в жидкости),
сила Кулона (если маятник имеет заряд и существует внешнее электрическое
поле), сила притяжения магнита (если груз маятника представляет собой
железный шарнк, помещенный вблизи постоянного магнита) и др. Если точка
подвеса маятника движется с постоянным ускорением а0 (например, если
маятник установлен на ракете, в лифте и т.п.), то циклическая частота и
период колебаний могут быть найдены по тем же формулам (8.44) и (8.45),
где величина ?эфф определяется выражением (8.48). Следует помнить, что
#эфф равно модулю геометрической суммы векторов, поэтому в общем случае
для его определения нужно применить теорему косинусов.
Частота и период колебаний пружинного маятника, в отличне от
математического, не зависят от наличия внешних сил н ускорения точки
подвеса н определяются только параметрами системы - жесткостью пружины и
массой маятника.
Выясним теперь, как можно определить амплитуду н начальную фазу
