Теория твердого тела - Давыдов А.С.
Скачать (прямая ссылка):
значений k, при которых можно пренебречь правой частью (16.25), можно
заменить
максимальным значением скорости v0 = ^-(3n2v<>)1/3, где v0 -плотность
электронов. Тогда
(Л(r)/)2 ехР (- /Л/"/) С
96 ПЛАЗМЕННЫЕ И СПИНОВЫЕ ВОЛНЫ (ГЛ. IV
Следовательно, при выполнении неравенства
ьй vi/3 ffl
Ata<# = -!^6-, йв =-5-^5,3• 10~9 см (16.26)
vl , ов ' ° те2 ' ' '
уравнение (16.25) переходит в уравнение коллективных плазменных колебаний
p*4-Wpp* = 0.
При выполнении неравенства (16.26) фазовая скорость плазмонов (йр/к
превышает максимальную скорость электронов. Поэтому переход энергии
плазмонов в энергию движения отдельных электронов невозможен. Затухание
плазмонов в твердом теле обусловлено взаимодействием с колебаниями
решетки, с примесями и другими неоднородностями решетки.
Значение kc, определяемое (16.26), можно принять за верхнюю границу
волновых векторов плазмонов*). Таким образом, волновые векторы плазмонов
занимают центральную область зоны Бриллрэна объема 4л?с/3. Так как на
долю одного вектора приходится объем (2п)3/1/, то в кристалле может быть
klV/6л2 плазмонов.
Элементарные возбуждения с k2>kl не имеют коллективного характера. При
этих возбуждениях электронный газ следует рассматривать как систему
отдельных квазичастиц с потенциалом взаимодействия
t/sc (г,)= ^ 2 1ргехР(Шги)-
jfrl)b>kc
Итак, неучтенное в плазменных колебаниях взаимодействие электронов,
находящихся на расстоянии г друг от друга, определяется выражением л
?Лс(г)= 2 ^ехр(гЛг). (16.27)
к>кс .
Переходя в (16.27) от суммирования по Л к интегрированию в Л-
пространстве, получим
k>kc
"1Г f (16.27а)
*) Более детальное обсуждение вопроса о верхней границе волновых
векторов, при которых могут наблюдаться плазменные волны, проведено в
монографии Бонч-Бруевича и Тябликова [39].
ПЛАЗМЕННЫЕ ВОЛНЫ В ТВЕРДЫХ ТЕЛАХ
97
Таким образом, взаимодействие между электронами проявляется
называется экранированным кулоновским потенциалом заряда е. Значению
При вычислении Xtf, мы исходили из предположения, что плотность
электронов v0 в металле велика и они заполняют все состояния с энергией
E<EF (вырождение). Величина XTf называется томас-фермиевским радиусом
экранирования.
В полупроводниках плотность электронов v0 мала и вырождение не
осуществляется. Распределение электронов по энергетическим состояниям
определяется законом Больцмана. Взаимодействие между электронами
экранируется и в этом случае так, что кулоновское взаимодействие е2/е0г в
полупроводнике с диэлектрической проницаемостью е0 заменяется
экранированным взаимодействием
где Яд - дебаевский радиус экранирования. Для его определения вычислим
потенциал, создаваемый малым пробным зарядом бр в полупроводнике.
Заряд бр смещает электроны из положений равновесия, что приводит к
появлению дополнительного индуцированного заряда р. Суммарный заряд р +
бр создает потенциал ф(г), удовлетворяющий уравнению Пуассона
Плотность индуцированного заряда р в свою очередь определяется
потенциалом ф(/*). В условиях термодинамического равновесия (при
температуре Т) индуцированный заряд определяется выражением
только на малых расстояниях r<kp. Выражение у exp (-kcr)
kl
CO;
2jte2v0
где Ep - -^mv\ - энергия Ферми, соответствует квадрат радиуса
экранирования
Xtf - Ep/2ne2v0.
?2Ф (/*) = -~(р + бр). ео
Следовательно, уравнение Пуассона преобразуется к виду (У'-ЛЬ)ф(/*) =
^6р,
98
ПЛАЗМЕННЫЕ И СПИНОВЫЕ ВОЛНЫ
[ГЛ. IV
где
ЯЬ = е0 kT ,/4nv0e2
- квадрат дебаевского радиуса экранирования. Решая это уравнение,
находим
expf- - X.' -L)fi(0
D
¦d3r'.
- e0\r-r'\
Итак, в полупроводнике при температуре Т кулоновское взаимодействие
заменяется экранированным взаимодействием
(16.276)
Квадрат дебаевского радиуса экранирования KD пропорционален средней
энергии тепловых колебаний ионов и обратно пропорционален плотности vp
носителей тока, которая увеличивается при возрастании температуры.
16.1. Возбуждение плазменных волн. Энергия плазмонов велика, поэтому они
не возбуждаются при нагревании. Возбуждение плазмонов осуществляют
быстрыми электронами (порядка нескольких киловольт), проходящими через
тонкие (~100А) пленки. При прохождении быстрых электронов через пленки
бериллия, магния, алюминия они теряют энергию Нар, 2/иор, ... в
соответствии с числом плазмонов, которые они возбудили. При этом
наблюдаемая плазменная частота хорошо совпадает с вычисленной при учете
валентных электронов (два в Be и Mg и три в А1). В некоторых металлах и
неметаллах (С, Si, Ge, ...) электроны вобуж-дают по одному плазмону. В
углероде, кремнии и германии плазменная частота также определяется
валентными электронами (по четыре на атом). В металлах Си, Ag, Аи и
многих других переходных металлах в плазменных колебаниях наряду с
валентными принимают частичное участие и другие электроны. В табл. 8
приведены значения энергии плазмонов для некоторых твердых тел.
Таблица 8
Энергии плазмонов
Элемент Be В С . Si Ge А1 Mg Си Ag ZnS MgO
ЙШр, эв 19 19 22 17 16 15 10 20 23 17 25
