Теория твердого тела - Давыдов А.С.
Скачать (прямая ссылка):
ОПРЕДЕЛЕНИЕ СПЕКТРА КОЛЕБАНИЙ РЕШЕТКИ
89
максимумами, соответственно частотам фононов трех ветвей колебаний.
При наличии нескольких беспорядочно расположенных в решетке изотопов или
ядер, обладающих спином, рассеяние частично происходит на каждом ядре
независимо (некогерентно). При некогерентном рассеянии закон сохранения
импульсов не выполняется". Энергия нейтрона не зависит от угла рассеяния.
Из естественных элементов почти целиком некогерентно рассеивают кристаллы
ванадия и водорода [34]. Среди металлических элементов почти полное
когерентное рассеяние дает алюминий [35].
Если магнитный момент оболочки атома не равен нулю, то взаимодействие
между магнитным моментом нейтрона и магнитным моментом атома приводит к
дополнительному рассеянию, которое называют магнитным рассеянием.
Изучение магнитного рассеяния нейтронов дает ценнейшие сведения о
магнитной структуре вещества.
ГЛАВА IV
ПЛАЗМЕННЫЕ И СПИНОВЫЕ ВОЛНЫ § 16, Плазменные волны в твердых телах
В предыдущих главах рассматривались элементарные возбуждения в твердых
телах, связанные с коллективными движениями нейтральных атомов, молекул
или тяжелых ионов. Квантами этих элементарных возбуждений являются
фононы. Рассмотрим теперь элементарные возбуждения, связанные с
коллективным движением электронов относительно тяжелых ионов в твердых
телах. Эти элементарные возбуждения обусловлены кулоновским
взаимодействием между электронами к положительными ионами. Им
соответствуют продольные волны, которые получили название плазменных
волн. Кванты плазменных волн называют плазмонами.
Плазменные колебания не очень высоких частот возникают в металлах и
полупроводниках, т. е. в твердых телах, имеющих слабосвязанные с ионами
электроны. В основном состоянии электроны полностью компенсируют
положительный заряд ионов и каждая элементарная ячейка кристалла
нейтральна. Пусть v0 - среднее число электронов в единице объема
кристалла, соответствующее такому нейтральному состоянию. Отклонение
числа электронов v от среднего значения, v0 приводит к нарушению
нейтральности и появлению электрических сил, восстанавливающих
равновесие. Так возникают колебания плотности электронов относительйо
среднего значения v0.
В простейшей теории плазменных колебаний в твердых телах, развитой Бомом
и Пайнсом [36-38] и в ряде последующих работ, положительные ионы твердого
тела заменяются однородно распределенным положительным зарядом с
плотностью, равной средней плотности заряда электронов. Такая модель
твердого тела называется моделью "желе". Валентные электроны и электроны
проводимости рассматриваются как электронный газ, разрежения и сжатия
которого относительно среднего значения приводят к продольным колебаниям.
Плотность электронов в твердом теле порядка 1023 см~3 в отличие от малой
плотности электронов
1012 см~3) в обычной газовой плазме. При большой плотности
ПЛАЗМЕННЫЕ ВОЛНЫ В ТВЕРДЫХ ТЕЛАХ
91
электронов кинетическая энергия их "нулевого движения" значительно
превышает энергию теплового движения, поэтому последнее не принимается во
внимание.
Рассмотрим длинноволновые плазменные колебания в изотропном кристалле.
Для длинноволновых колебаний электроны можно рассматривать как
непрерывную среду. Изменение плотности электронов относительно среднего
значения v0 можно записать в виде
v(r, t) - v0 = v0 div R (r, t), (16.1)
где R (r, I) - вектор малого смещения электронного газа из своего
нормального положения. Если е - единичный положителБный заряд, то
изменение плотности электрического заряда
6p = p(r, 0-Ро = -ev0div/?(г, t). (16.2)
Изменение плотности электронов нарушает нейтральность. Появляется
электростатический потенциал <p(/\ t), удовлетворяющий уравнению Пуассона
У2ф(г, t) = - 4л6р == 4nev0 div R (г, t). (16.3)
Потенциальная энергия, возникающая при смещении электронов, будет
слагаться из изменения упругой и электростатической энергий
f/ = !$[Y(div/?)' + 6p(p]dT, (16.4)
где у - модуль упругости электронного газа без учета зарядов. Мы
рассматриваем только продольные смещения, т. е. полагаем rot/? = 0. Если
т - масса электрона, то кинетическая энергия смещений электронов
K^\R4r,t)dx. (16.5)
Предположим, что кристалл имеет форму куба со стороной L и объемом V - ZA
Для удобства введем циклические граничные условия. Тогда волновые функции
,
где компоненты kx имеют значения (1х - 0, ±1,...) и образуют полную
ортонормированную систему функций. Разложим
92 ПЛАЗМЕННЫЕ И СПИНОВЫЕ ВОЛНЫ [ГЛ. IV
смещения R (г, t) по этой системе ортонормированных функций *)
Л(г, 0 = р^2Л*(<)в(й)ехр(1'йг); (16J)
k
здесь e(k) - единичный вектор продольной поляризации, удовлетворяющий
условиям
e2(k)=\, e(k) = e(-k), k\e(k).
Из условия вещественности смещений (16.7) вытекает равенство
Ак = A*Lk,
Из (16.7) следует
div R = y^^(ke (k)) Акехр (ikr). (16.8)
k
Разложим потенциал по ортонормированной системе функций
(16.6)
ф(Г' /) = TT=f2(Pft(/)eXP^- ' (16,9^
к
Из уравнения (16.3) при учете (16.8) получаем
