Теория твердого тела - Давыдов А.С.
Скачать (прямая ссылка):
функций | s, s*), где s7 принимает 2s + 1 значений rhs, ±(s - 1), ...
Операторы s*, s^, sz можно заменить операторами
s*, s+ = sx + isy, s = sx - isy, (17.4)
удовлетворяющими перестановочным соотношениям
[А АТ А г А А ~| А г л Л "1 А
s+, s] = 2s*, [V, s+]=s+, [s7, s]=s. (17.5)
A A
Операторы s+ и s имеют следующие отличные от нуля матричные элементы:
<s, s* + 1 | s+|s, sz) = (s, s*| s !s, St+ l) = )/(s-s*)(s + s;+ 1).
(17.6)
Таким образом, оператор s+ увеличивает, а оператор s уменьшает на единицу
проекцию спина на ось г. Спиновые операторы, относящиеся к разным атомам,
коммутируют между собой.
Используя тождество
+ (17.7)
можно преобразовать оператор (17.1) к виду
Н = Е0-\-Нх-\-Н2, (17.8)
где
Eo = -iioBNs-~-NsL(0), (17.9)
H1 = (|iB + L(0))2(s-^)-j % I(n-m)sns+m, (17.10)
П rt, ОТ
H2 = -~^I(n-m)(s-szn)(s-szm)f (17.11)
rt, m
L(0)=s?/(").. (17.12)
rt
В ферромагнетике интегралы I (n) положительны. Минимум энергии (?min =
?0) соответствует состоянию, при котором все спины направлены вдоль поля.
Возбужденные состояния образуются при повороте одного или нескольких
спинов против поля.
17.1. Представление спиновых операторов через операторы спиновых
возбуждений. Квадрат оператора спина каждого атома имеет только одно
собственное значение s(s+l). Следовательно, три оператора sz, s+, s
связаны равенством
s2 = s!+y(s+s + ss+) = s(s+l), (17 13)
поэтому их удобно выразить через два новых независимых оператора. В
качестве таких операторов удобно выбрать операторы
СПИНОВЫЕ ВОЛНЫ В ФЕРРОМАГНЕТИКАХ. МАГНОНЫ
107
рождения и уничтожения спинового возбуждения намоле-куле п кристалла. При
этом под спиновым возбуждением молекулы мы будем понимать уменьшение на
единицу проекции спина вдоль поля (ось z).
Если спины ионов равны 1/2, то переход к операторам ц+ и [I с учетом
(17.13) можно осуществить с помощью равенств
(^Л = ^Л) $п = ~2 ИлИл* (17.14)
Операторы |х? удовлетворяют перестановочным соотноше-
ниям для ферми-операторов
+ (xj(x" = 1, |4 = (|4)2 - 0, (17.15)
если они относятся к одному атому, и перестановочным соотношениям бозе-
операторов
[|А", Цтп] -[|^ni (А/п] - 0, И ttl, (17.16)
если относятся к разным атомам. Они действуют на функции \N"), в которых
аргументами являются целые числа Nпринимающие только два значения 0 или 1
для каждого атома. Правила действия операторов (х", jxJ на функции | N")
определяются равенствами
М-л | Nn) = | 1 - N"), \L%\Na) = (l-N")\Nn+l). (17.17)
Операторы со смешанными перестановочными соотношениями
(17.15) и (17.16) называются операторами Паули. Они мало удобны при
практических вычислениях. При вычислении первых возбужденных состояний
кристалла, когда число перевернутых спинов мало, так что 1, можно
перестановочные соот-
ношения (17.15) заменить приближенными
|-1д(^л l^nl^n= 1 2|ХяЦ.л s=s=* 1, [|Х", |хт] = 0, (17.18)
т. е. можно считать, что операторы (х" удовлетворяют обычным бозевским
соотношениям коммутации при условии, что собственные значения операторов
(х^" равны либо 0 либо 1.
" Очень удобно осуществлять переход от спиновых операторов к операторам
рождения и уничтожения спиновых возбуждений с помощью преобразований
Хольштейна - Примакова. Если атом имеет спин s, то
Sn = S LI л LI л-
Перестановочные соотношения (17.5) для операторов спинов удовлетворяются,
если операторы |х" удовлетворяют бозевским перестановочным соотношениям
(17.18).
J08 ПЛАЗМЕННЫЕ И СПИНОВЫЕ ВОЛНЫ [ГЛ. IV
В связи с тем, что спин атомов фиксирован, новые операторы \i", действуют
в пространстве функций от целых чисел N ", пробегающих только 2s+l
значений: 0, 1, 2, ..., 2s. Ограничения на "числа заполнения" отличают
новые операторы от обычных бозевских операторов, которые действуют в
пространстве функций с произвольными числами заполнения. Удовлетворение
условием Nns^2s создает ряд трудностей, которые не имеют существенного
значения только при низких температурах, когда возбужденные состояния
близки к основному, т. е. содержат малое число перевернутых спинов, что
выражается неравенством
<H,W<s. (17.20)
Радикалы в выражениях (17.19) следует понимать как бесконечные ряды по
степеням ^in"/2s, т. е.
s" =]/2s - -^-н>"Н'я+ ... ). (17.21)
При выполнении неравенства (17.20) можно сохранить в (17.21) только
первое слагаемое, тогда уравнения (17.19) принимают вид
s" = n;i]/2s, si = n"]/2s, s^ = (s - ц?ц"). (17.22)
Используя эти приближенные выражения, преобразуем гайзен-берговский
оператор (17.8) к виду
Н = Н0 + НМ,
где
H0 = E0 + [\iB + L (0)]2^Hn-s 2'/(п - т)ц^цт, (17.23)
п п, т
#int = - \ 2 1 (л - "*) (17.24)
п, т.
17.2. Энергетический спектр изотропного ферромагнетика при малых
возбуждениях. В приближении малого числа возбуждений ((^ця)^1) оператор
(17.24) можно рассматривать как возмущение. Тогда в нулевом приближении
энергетический спектр спиновых возбуждений определяется оператором
ДЯ = Я - ?0 = [(iB + L(0)]2nX- s 2У 1 (п - т"> РпЦт. (17.25)
я п, т
Диагонализация оператора (17.25) осуществляется каноническим
