Теория твердого тела - Давыдов А.С.
Скачать (прямая ссылка):
преобразованием к операторам рождения ц* и уничтожения ц* элементарных
спиновых возбуждений - магнонов, характеризующихся определенным значением
квазиимпульса fik. Если кристалл содержит N элементарных ячеек, то это
преобразование имеет
СПИНОВЫЕ волны в ферромагнетиках, магноны
109
ВИД
(17.26)
к
Подставив (17.26) в (17.25), получаем
ДЯ = ^ ? (*) ц*ц*,
(17.27)
к
где
(17.28)
< (k) - L(0) - L (k), L(k) = s 2 / (я) exp (ikn). (17.29)
В связи с тем, что обменные интегралы / (п) экспоненциально
чением расстояния \п\, в сумме (17.29) можно учитывать только
взаимодействие с атомами ближайшего окружения. Если v - число ближайших
соседей (6 для простой кубической решетки, 8 для объемноцентрированной и
12 для гранецентрированной) в кубическом кристалле с постоянной решетки
а, то
Следовательно, в области малых значений ka<^ \ закон дисперсии энергии
магнонов можно записать в виде
где т* = tl2/(vsla2) - эффективная масса магнона. Для оценки величины
эффективной массы можно положить v = 6, s = 1/2, а = 10-8 см, I ~'лТс, к
- постоянная Больцмана, Тс -температура Кюри, тогда
где те - масса электрона.
Имеется некоторая аналогия между спиновыми волнами и колебаниями атомов в
твердых телах. Магноны и фононы вносят вклад в теплоемкость твердого
тела. В кристаллах чистых ферромагнитных металлов в каждой элементарной
ячейке имеется по одному иону. Поэтому в этих кристаллах имеется только
одна ветвь спиновых волн. При этом энергия магнонов стремится к нулю при
приближении их волновых векторов к центру зоны Бриллюэна. Эту ветвь
называют акустической ветвью магнонов.
В ферромагнитных сплавах (Fe -Cr, Fe - Ni, Fe -Ni - Al и др.) в
элементарной ячейке содержится несколько магнитноактивных ионов. Они
имеют и соответствующее число ветвей
п (ф 0)
убывают
увели-
L(k) = slv cos ka.
(17.30)
<(k) = L(0)-L(k) = j±-,
(17.31)
rn* яа Ю*те/Тс,
110
ПЛАЗМЕННЫЕ И СПИНОВЫЕ ВОЛНЫ
[ГЛ. IV
спиновых волн. Одна из них акустическая. Частоты других стремятся к
конечным пределам при увеличении длины волны. Эти ветви называются
оптическими ветвямй магнонов.
17.3. Взаимодействия магнонов с колебаниями решетки. В нулевом
приближении энергетический спектр спиновых возбуждений в кристалле
определяется оператором (17.25) только при условии жесткого закрепления
ионов ферромагнетика в узлах решетки. Если учесть возможность их смещений
из равновесных положений, то надо рассмотреть зависимость обменных
интегралов F (п - т) от смещений tni %,т ИОНОВ.
При малых смещениях ионов из положений равновесия следует заменить F(n -
m) в выражениях (17.25) рядом
F (n-rn) + (ln-lm)Dnm +
где
л _(д1 (п - т) \
Unm~\4ln-lm) Jo'
Проведя такую замену и переходя к операторам смещений, получим оператор
взаимодействия спиновых возбуждений и колебаний решетки
^sp. vib = $ 2 (^л \т) Dпт^п^т-
п, т
Переходя в этом выражении к операторам рождения и уничтожения магнонов и
фононов с помощью преобразований (17.26) и выражения
= V 2 mNQ е (k) (bk + btk) exp (ikn),
k
получим оператор взаимодействия с участием двух магнонов и одного фонона
Hsp.vib- 2 \Р Ф~ ч) ~ D (ft)] (bq-^-b-q) q+g,
*. q. g
D (k) = s ^ У (°пте (*)) exP lik (m ~ ")] •
m
Этот оператор описывает процессы испускания и поглощения фонона магноном.
Процесс испускания фонона можно рассматривать как черенковское излучение
звуковых волн магноном. Условие такого излучения сводится к требованию,
чтобы скорость магнона превышала скорость звука сас. Рассматривая магнон
как квазичастицу с эффективной массой (17.31), условие излучения фонона
можно записать в виде bk>m*c&z.
17.4. Взаимодействие между магнонами. Магноны соответствуют собственным
значениям гамильтониана (17.23). Этот гамиль"
§ 17] СПИНОВЫЕ ВОЛНЫ В ФЕРРОМАГНЕТИКАХ. МАГНОНЫ 1 ] ]
тониан получен из гамильтониана (17.1) в результате двух приближений:
а) при учете в бесконечных рядах (17.21) только
первого слагаемого; б) при пренебрежении оператором (17.24). При отказе
от этих приближений магноны уже не будут независимыми возбуждениями.
Между ними проявится взаимодействие. Это взаимодействие принято разделить
на две части: а) динамическое взаимодействие, обусловленное оператором
(17.24); б) кинематическое взаимодействие, обусловленное учетом
последующих членов в разложении (17.21).
Рассмотрим вначале оператор динамического взаимодействия. Проведя в
(17.24) преобразование (17.26) к операторам магнонов, находим
Hint =----зЖ 2 L У1' ~ (r) (17-32)
где L(k) определено выражением (17.29); суммирование в (17.32)
производится по всем векторам k, k', q, q' при условии выполнения
равенства
k-k' + q-q' = g, (17.33)
где g--произвольный вектор обратной решетки. Оператор четвертого порядка
по магнонным операторам (17.32) описывает процессы рассеяния магнонов
друг на друге.
Чтобы получить оператор кинематического взаимодействия магнонов,
подставим в (17.10) значение (17.21), тогда, сохраняя только операторы
четвертого порядка, получим наряду с (17.23) и (17.24) оператор
