Теория твердого тела - Давыдов А.С.
Скачать (прямая ссылка):
фо = О, Ф "=,-^р.{ке{ЩАк, кфО. (16.10)
При учете (16.7) - (16.10) потенциальная энергия (16.4) преобразуется к
виду
2 2 {*2Y + 4tte2vg} АкА-к. (16.11)
к
Кинетическая энергия (16.5) согласно (16.7) преобразуется к виду
К==^2,АкА-к. (16.12)
*
Из (16.11) и (16.12) следуют уравнения
mv0Ab + [у к2 + 4ne2vjj] Ак = 0.
Полагая Л* =- со2(k)A/" получаем закон дисперсии плазменных колебаний в
области малых значений k:
<o2(ft) = co=+^2, (16.13)
где сор -г 4ne2v0/m - квадрат плазменной частоты.
*) Для описания длинноволновых коллективных движений в (16.7) и в
последующих суммах по k следует сохранять только слагаемые со значениями
к, меньшими некоторого критического kc, которое будет определено Ниже.
§ 16] ПЛАЗМЕННЫЕ ВОЛНЫ В ТВЕРДЫХ ТЕЛАХ 93
При е->0 электростатические эффекты исчезают и со (k)^n "=*&]/y/mv0 =
соас (ft). Такая зависимость совпадает с законом дисперсии частоты для
звуковых волн, распространяющихся в газе со скоростью Vy/mv0. Значение
Yy/mv0 - 5 • 105 см/сек,
"=* 108 смг1. Поэтому соас "=* 5 • 1013 свкл. Для оценки величины
плазменной частоты примем во внимание, что vo?" 1023 см~а, т = 9-10~28 г
и е = 5• 10 10 СГСЭ. Тогда
сор = ^ 2 • 1016 сек 1 или Ашр^12 эв.
Следовательно, сор^-соас и дисперсия плазменных волн очень мала.
Относительное изменение со (k) в пределах первой зоны Бриллюэна менее
10~3.
Обобщенный импульс, сопряженный коллективной координате Aky находится по
общему правилу
"-d^-mv0A^
Mk
Поэтому классическая функция Гамильтона плазменных колебаний, выраженная
через обобщенные координаты и импульсы, определяется выражением
ё(Р, A) = -^-'^PkP-k + mv0^(i)kAkA-k. (16.14) к h
Переход к оператору Гамильтона Н в представлении чисел заполнения
плазмонов осуществляется в (16.14) преобразованием
Ац -Ah - "|/ п-----(&h "1~ *2- h)t
У ^ (16.15)
Ph-*- Ph = iV Tmkv0ml2 (a% - "_*),
где a% и ak - бозевские операторы рождения и уничтожения плазмонов с
волновым вектором k. Таким образом, получаем
Я = 2й"*("^ + 1/2). (16.16)
h
Стационарные состояния кристалла изображаются функциями от чисел
плазмонов пк. Вакуумное состояние характеризуется функцией 10). В
этом состоянии нулевая энергия плазмонов
<01Н10) = у ^ Квадрат амплитуды нулевых колебаний опре-к
деляется выражением
(16.17)
94 ПЛАЗМЕННЫЕ И СПИНОВЫЕ ВОЛНЫ [ГЛ. IV
Следовательно, операторы (16.15) можно записать в виде
Аь - хоь (ak-]-at-b), Pi, - - iv0mmx0k (ак - atk).
Для выяснения предела применимости проведенного выше макроскопического
описания плазменных колебаний исследуем, при каких условиях оправдывается
представление об электронах кристалла как о непрерывной среде. Если
принять, что электрон - точечная частица, то плотность и вектор потока
электронов в точке г можно записать в виде
Р И = .? 6 ('*-'*/). УИ = 2(r)^(Г_Г<)' (16.18)
i i
где Г/, vt - радиус-вектор и скорость l-то электрона; суммирование
производится по всем электронам кристалла, объем которого принят равным
единице.
Будем учитывать только электростатическое взаимодействие. Потенциальная
энергия взаимодействия l-то электрона со всеми другими электронами и
положительным однородно распределенным зарядом ионов имеет вид
= ГУ = 1Г*"01. /*=*• (16.19)
Положим еа/гу = с* exp {ikrl}), тогда при учете (16.6) и при к
условии V=1 находим
Ск = g2 S 6ХР [~ГФ ^ = ПРИ кф0*
Со - е2
Таким образом, (16.19) преобразуется к виду
У (n) = '^^-exp[ik(rl-rj)]. (16.20)
/.*•
Знак штрих у суммы указывает, что отсутствуют слагаемые / = / и й = 0.
Кинетическая энергия электронов имеет обычный вид
к=у2"г. (16.21)
i
Из выражений (16.20) и (16.21) следуют уравнения движения отдельных
электронов
mV( - - Иле2 ^ ~ exp (ikrl}). (16.22)
А *
§ 16] ПЛАЗМЕННЫЕ ВОЛНЫ В ТВЕРДЫХ ТЕЛАХ 95
Чтобы получить уравнения, определяющие изменение плотности электронов,
проведем предварительно фурье-преобразования (16.18)
Р И = 2 Р* ехР (ikr)" Яг) = 2 /*ехР (ikr)•
*• *
Тогда, используя (16.6) и (16.18), находим
Р* = 2 ехР (- Ре " vo.
* (16.23)
/* = 2j ехР (- ikri)-
I
Применяя к (16.23) уравнение непрерывности p+div/=0, получаем уравнения
р*=-2 * (kvd ехР (~ikr^'
I
р*=-2 \ikvif+* (*"<)] ехР (-ikri)-
I
Подставив в последнее равенство значение hi из (16.22), находим при учете
(16.23)
Р' = -т1?№-"-^^)!ехр(-^ О6-24)
ч i
Если в первом слагаемом правой части этого равенства выделить член g = k,
то оставшуюся сумму ^ ^~pqpb-g можно опустить,
чФк
так как она содержит большое число малых знакопеременных слагаемых.
Отбрасывая эту сумму, мы пренебрегаем связью между изменениями фурье-
образов плотностей, относящихся к разным длинам волн (р* и р*-). Такое
приближение называют приближением беспорядочных фаз. Используя это
приближение, преобразуем уравнение (16.24) к виду
р* +Цр* = - 2 ехР (- ikri)- (16.25)
i
Правая часть (16.25) зависит от скоростей электронов и при абсолютном
нуле. Это движение оказывает разупорядочйвающее действие на коллективные
плазменные колебания. Его влияние тем меньше, чем меньше к. Для оценки
