Теория твердого тела - Давыдов А.С.
Скачать (прямая ссылка):
^(k'a-kl) = hQ's(q), kb = ka-q. (15.5а)
Начальное | а) и конечное | Ь) состояния системы, состоящей из нейтрона и
кристалла в первом приближении, можно записать в виде
[*> = фЛ/*)ПК*>. Iь> = ф*ИПIv*V. . (15-6)
' s, q s, q
где | vsq) - волновая функция колебательного состояния с vsg фононами
ветви s и волнового вектора q.
В борновском приближении вероятность перехода в единицу времени из
начального _ состояния в конечное состояние под влиянием возмущения
определяется золотым правилом Ферми
^ = т ¦ (15.7)
где dp = - плотность числа конечных состояний на единицу
телесного угла рассеянного нейтрона. Черта над матричным элементом
означает, что результат усредняется по возможным начальным состояниям
колебаний решетки. Разделив dwba/dt на плотность потока падающих частиц
HkJn, получим дифференциальное сечение рассеяния в единицу телесного
угла.
При - упругом рассеянии состояние колебаний решетки не меняется, поэтому
матричный элемент, входящий в (15.7), принимает вид
ф | V | а) - - ^^е'<>" (Фа | e!Ql* | Фа>, (15.8)
П
где
Фа = ПК*>. Q = ka-kb. (15.9)
s. Я
Учитывая равенство (см. математические 'дополнения в [32])
|^> = ехр[- оф(у + ^],
следующее из операторного тождества
exp {a^ + p&t}=exp(-~-ap)exp (РЭДехр (abs),
можно после подстановки [(15.2) и (15.9) преобразовать матричный
элемент, входящий в (15.8), к виду
| (Фа I e?b I Фа) |2 = ехр (- 2 W), (15.10)
ОПРЕДЕЛЕНИЕ СПЕКТРА КОЛЕБАНИЯ РЕШЕТКИ
87
где
W ^ ( 2 ^ Vsg) (es (Я) 2NMQB (q) '
1Г*
Учитывая (15.10), имеем
Ф\У\а)\>
2пШ 2 e-2W \elQn
Ld п
При N -+оо имеет место равенство
= №pL&(fib-ka + g),
piQn
(15.11)
(15.12)
(15.13)
где g- вектор обратной решетки, определенный выражением (3.1).
Подставив (15.12) в (15.7), при учете (15.13) получаем окончательное
выражение
dwba _ hkbN I
| А \*е~шЬ {kb - ka-\-g).
(15.14)
dt - цУ
Множитель exp (-2W) называется фактором Дебая -Валлера. Он зависит от
температуры и свойств кристалла и приводит к ослаблению упругого
когерентного рассеяния для всех углов рассеяния Вф 0. Величина №
возрастает с ростом угла рассеяния, энергии нейтрона и температуры
кристалла. При температуре кристалла, близкой к дебаевской (см. § 10), W
~ \i/M, где М - масса ядра рассеивателя. Следовательно, для тяжелых ядер
ехр(-2№)~1'И смещение ядер из положений равновесия существенно не влияет
на интенсивность когерентного рассеяния.
Функция (15.14) имеет резкие максимумы в направлении векторов рассеяний,
удовлетворяющих условиям Брегга:
feb ka - g, |^й| = |^о|* (15.15)
Условия Брегга выполняются всегда для рассеяния вперед (g-= 0). Поскольку
рассеянием называют отклонение нейтронов от первоначального направления,
то случай g' = 0 следует исключать. Для кристаллов конечных размеров
дельта-функция в (15.14) должна быть заменена функцией, имеющей максимум
с конечной угловой шириной, по порядку величины равной (kaL)~2, где L -
средние линейные размеры кристалла.
Условия Брегга'(15.15) можно также записать в виде
или ' 2d sin
:Х,
(15.16)
где 0 -угол рассеяния, й = 2я/|?| -расстояние между бреггов-скими
плоскостями. Вклад в рассеяние дают только значения
88
ФОНОНЫ В ИОННЫХ КРИСТАЛЛАХ
[ГЛ. III
1^1, удовлетворяющие неравенствам
| g-j < 2 |* | или k^2d.
Нейтроны с длиной волны, превышающей удвоенное наибольшее расстояние
между кристаллическими плоскостями, проходят кристалл, не рассеиваясь в
стороны. На этом свойстве основано действие фильтров, обрезающих в
проходящем пучке нейтронов коротковолновую область спектра. В качестве
фильтров берутся мелкокристаллические вещества, обладающие малым
поглощением нейтронов и только когерентным рассеянием. Часто используют
окись бериллия (d = 4,4 А) и графит (d = 6,7 А).
При неупругом рассеянии нейтрона с поглощением одного фонона, наряду с
законом сохранения энергии (15.5) должен выполняться закон сохранения
импульсов
kb-ka = g+Q. (15.17)
Если однофононное когерентное рассеяние можно экспериментально выделить
из многофононного, то, измеряя энергию рассеяния при разных углах
рассеяния, можно с помощью (15.5)
и (15.5а) определить закон дисперсии Qs("7).
Используя (15.17) и условие периодичности фононных частот QJ(9,) = ^j(9'
+ gr), преобразуем (15.5) -к виду
(kl-K) = 2fas(kb-ka). (15.18)
Для данного начального вектора ка для каждой ветви колебаний s уравнение
(15.18) описывает в Л-пространстве поверхность Ss, которую называют
поверхностью рассеяния [33]. Для нейтронов, расееянных при испускании
фонона, уравнение (15.18)
заменяется уравнением
(bl-kl) = \tos(ka-kb). (15.19)
Это уравнение не имеет решений при \ka\, меньшем некоторого критического
значения ki. Согласно (15.17) это значение должно удовлетворять
неравенству
I *i i я | g0 I,
где go - наименьший вектор обратной решетки. Вероятность рассеяния
нейтрона'с рождением или поглощением одного фонона пропорциональна
^г-Мкь-ка) es(q) \\
Кривая распределения нейтронов по энергии при неупругом когерентном
рассеянии в данном направлении обладает тремя
