Теория твердого тела - Давыдов А.С.
Скачать (прямая ссылка):
Hint ~ I (ft fft) (\^n\^m\^m\^m~\~\^n\^n\^n\^m)"
п, т
После преобразования (17.26) этот оператор принимает вид
tf int = 4^5- 21 (*) . (17.34)
где суммирование выполняется по всем значениям k, klt q, qu лежащим в
первой зоне Бриллюэна и удовлетворяющим условиям
- q qi~\- g-
17.5. Теплоемкость газа магнонов. Взаимодействие магнонов между собой, и
с фононами колебаний решетки приводит к изменению их числа и к
установлению термодинамического равновесия. Как было показано выше, при
малых плотностях магнонов их можно рассматривать как бозе-частицы с
законом дисперсии
(17.31). Поскольку число магнонов не сохраняется, их химический потенциал
равен нулю и среднее число магнонов с волновым вектором k и энергией Е
(k) при температуре 0 определяется
112 ПЛАЗМЕННЫЕ И СПИНОВЫЕ ВОЛНЫ [ГЛ. IV
так же, как и среднее число фононов, формулой
№)з№,) = (ехр^ - l)~\ 0 = хГ. (17.35)
При отсутствии внешнего магнитного поля E(k) = t(k) -
= hzk2/2m*. Средняя энергия магнонов в кристалле с одним ионом в
элементарной ячейке равна
'<?> = ?"+?"(*) W. (17.36)
к
Если в кристалле N элементарных ячеек объема у, то, переходя от суммы по
Л к интегралу, получим
/с\ с I °N (2m*0)5/2 f° x*dx /ivot\
<?> = ?" + 4я2т*йз ) ехр(-^-1" (17'37)
о
где
ЙЬ
max /, -7 o"7 \
x0 = -=. (17.37a)
/2 m*0 V '
При низких температурах, когда х0^>1, верхний предел интегрирования можно
заменить бесконечностью, тогда, учитывая,
СО -
что ^ е-х* Х~ = ? (т) * где ^ (у) ~ дзета-функция Римана,
о
равная ~ 1,341, имеем
<?> = ?о + ЛУ05/2, Хо>1, (17.38)
где
4 }^2 \ яй2 /
Следовательно, удельная теплоемкость магнонного газа при низких
температурах определяется законом
Cv = amagQ3/2, amag = jAx.
Теплоемкость фононного газа при низких температурах пропорциональна кубу
температуры (10.19). Это обстоятельство позволяет выделить теплоемкость
магнонного газа из общей теплоемкости твердого тела. Действительно, если
Cv = flph(c)3 + ата8в3/2,
то график зависимости функции
0-3/2Ca = flph@3/2 + amag
от 03/2 будет прямой линией. Наклон этой линии определяет величину aPh, а
точка пересечения с осью ординат определяет
СПИНОВЫЕ ВОЛНЫ В АНТИФЕРРОМАГНЕТИКЕ
ИЗ
величину flmag, зная которую можно вычислить эффективную массу магнона.
Наличие магнонов в кристалле уменьшает магнитный момент /И0 = (х0*'А^ его
основного состояния. Средний магнитный момент вдоль оси z кристалла
определяется выражением
<AQ = n" ij (si), (17.39)
Я - 1
где (i0 - магнетон Бора. Подставив значения (17.35) и переходя от
суммирования к интегрированию по к, получим
<М*> = АГ0(1-Э,
где
М0 = Ns\i о,
^ у(2т*&)3/2 Г x*dx _ о /2т*в\3/2 /3N
' е-'2-1 ~ 2л% V й* / V 2 У '
с(-|)^2,612.
Следовательно, при низких температурах магнитный момент кристалла
уменьшается при возрастании температуры пропорционально 03/2 -закон трех
вторых Блоха.
§ 18. Спиновые волны в антиферромагнетике
Теория спиновых волн в антиферромагнетиках развивалась в работах
Боголюбова и Тябликова [45]. Здесь мы рассмотрим только основные
представления, используемые в теории; более полное изложение можно найти
в монографии [46].
Одним из примеров двухподрешеточного антиферромагнетика является
кубический кристалл RbMnF3 с температурой Нееля, равной 82,5 °К. Поле
анизотропии в этом кристалле направлено вдоль оси третьего порядка и
весьма мало (~4э) по сравнению с "полем" обменного взаимодействия (^8,9 •
105 э).
В качестве теоретической модели антиферромагнетика рассмотрим кристалл,
составленный из двух подрешеток А и В, вставленных друг в друга так, что
у каждого иона подрешетки А все ближайшие соседи являются ионами
подрешетки В и наоборот. Магнитные моменты (i0s и спины s ионов А я В
одинаковы. В основном состоянии без внешнего магнитного поля каждая из
подрешеток намагничена до насыщения, а суммарные магнитные моменты
подрешеток направлены в противоположные стороны. Следовательно, в
основном состоянии
S "г 10> = s [ 0), s*|0> = -s[0>.
(18.1)
114
плазменные и спиновые волны
[ГЛ. IV
Оператор Гамильтона антиферромагнетика можно записать в виде
где аир пробегают два значения А и В; пи т - векторы решетки; В -
магнитное поле в кристалле, определяющее направление намагниченности
подрешеток
Обменные интегралы 1а$(п - т) удовлетворяют неравенствам
При малых возбуждениях в рамках приближения (17.22) переход к
представлению чисел заполнения в операторе (18.2) осуществляется
равенствами
С помощью (18.4) гамильтониан '(18.2) преобразуется к виду
Оператор Н2 содержит более высокие степени бозонных операторов.
Перейдем в гамильтониане (18.8) к бозонным операторам коллективных
возбуждений Ak, Bk с помощью канонических преобразований
а, р а, т.
1аа - 1вв>(r)> 1ав<.0.
(18.3)
s*=V2s At, s% =У2s В",
Snz~s - AtAn, snz = - s-\-B^Bn.
(18.4)
H - E о -f- H\-\- H2,
(18.5)
где
п(фО)
= 2 (G+A+nA" + G-B+"B") -
П
П
- ^ ^s/дд (я - m)(A%Am-\-BhBm) -s/ав(п - w) (Ai,Bm-f- ЛлВ,л^,
G± = Laa (0) ± ЦоВ - Lab (0).
(18.8)
(18.9)
(18.10)
§ 18] СПИНОВЫЕ ВОЛНЫ В АНТИФЕРРОМАГНЕТИКН 115
