Теория твердого тела - Давыдов А.С.
Скачать (прямая ссылка):
убедимся, что они в точности совпадают, если равны скорости ЭКСИТОНОВ Vo
И фотонов Со- Обычно V0<.C0, поэтому закон пространственного изменения
плотности фотонов нельзя полупить (в случае сильного взаимодействия
экситонов с фононами, когда /o^Y2eo) из закона временного изменения
простой заменой t -> г!Со- Однако в случае слабого взаимодействия (/о <!
уе0) такая замена допустима (см. ниже).
Рассмотрим более подробно выражения (57.53) и (57.54) для некоторых
предельных случаев.
А- Отсутствуют процессы релаксации (у = 0). Этот случай имеет
методический интерес. Возбуждаются экситонные состояния с конечной
шириной экситонной зоны, следовательно, v0 ф 0.
При VoфO и у -0 из (57.53) и (57.54) следует weAkо, z) = -^~sin*-^L=-
со + 2 У v0Co&o
Wph (k0, z) = l-~- Wex (k0, z).
Суммарный поток фотонов и экситонов
J = V0wex (k0, z) + CoWph (ko, z) = Co
не зависит от г (нет истинного поглощения). В отдельности поток фотонов
уменьшается на расстоянии Л = я У VoC0e0/fo от значения с0 до значения
При этом поток экситонов увеличивается
2с х)
от нуля до значения ~ ¦ На следующем промежутке, равном Л,
498 ДИСПЕРСИЯ И ПРОХОЖДЕНИЕ СВЕТА ЧЕРЕЗ КРИСТАЛЛЫ [ГЛ. XI
энергия от экситонов снова возвращается к фотонам. При v0 - c0 перекачка
энергии между фотонами и экситонами полная, как и в случае
пространственно-однородной задачи (57.24). При этом фотоны и экситоны
участвуют в переносе энергии на равных основаниях. Наоборот, при уо = 0
электронные возбуждения неподвижны и энергия переносится только фотонами.
Б. Отсутствует простр анственна я ди спер с и я при наличии процессов
релаксации (Уо^О, 7о?=0).
Рис. 75. Изменение плотности фотонов и экситонов с толщиной кристалла при
отсутствии пространственной дисперсии.
При уофО в предельном случае бесконечно узких экситонных зон (у0^0)
выражения (57.53) и (57.54) принимают вид
we]l(k0, z)--a>Ph (k0, z) =
4e0V"
fl
ЬК
2&ЬеХР
46oVo - fl L fl *4 2y060Co/
•o vj'
Кроме того,
w3(k0, z) = 0, wt(ko, z) tJ-tJiis. Wex (k0, z) '.
2/2 yn0, /о
(57.55)
(57.55a)
КВАНТОВОСТАТИСТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ
499
На рис. 75 изображены кривые (57.55) для двух разных отношений /o/Yo"o-
При значениях 2yz^c0 закон изменения плотности экситонов и фотонов в
основном экспоненциальный. При этом скорость убывания плотности фотонов
определяется скоростью наиболее медленного из двух процессов: а) переход
энергии от фотонов к экситонам, б) переход энергии от экситонов в
термостат.
В случае слабого экситон-фотонного взаимодействия (по сравнению с
взаимодействием экситонов с термостатом), т. е. при /о ео7о> более
медленным является процесс а). В этом случае функции Wi {k0, г) имеют
следующие значения:
wph (ко, г) ехр (ко, г) ^ 4^|wPh (Л°' 2)- (57-56)
w3(k0, z) = 0, Wi (к0, z)^^X~foWPh(ko, z). (57.56а)
Функции Шрь (ко, г) и wex(k0, г) совпадают с функциями (57.31), если в
последних заменить t на г/с0. Коэффициент поглощения света пропорционален
силе осциллятора F, так как fl - Q^F.
В случае сильного экситон-фотонного взаимодействия (по сравнению с
взаимодействием экситонов с термостатом), т. е. при /о^>ео72. медленным
процессом является процесс б). Фотоны очень быстро обмениваются энергией
с экситонами и функции плотности фотонов и экситонов (при 2yz^>c0)
практически совпадают
wex(k0, z)p&wPh(ko, z)^exp(-^j. (57.57)
При этом коэффициент поглощения света зависит только от параметра у0,
который определяет процесс релаксации.
В.'Роль процессов релаксации при наличии пространственной дисперсии. При
феноменологическом исследовании процесса распространения света в
кристалле в §§ 56.2 - 56.4 было показано, что роль пространственной
дисперсии существенна только при выполнении неравенства
Vofo > VoC0e0 = У2сп0. (57.58)
При выполнении этого неравенства выражения (57.53) и (57.54)
преобразуются к виду
wex(kо, 2) = -^-Гехр (--^-)-ехр (-^jcos (57.59)
со + ио|_ V со~\~ио/ \ Щ J У cv0n0 J
wph (ко, z) ъ ехр (- - J ^ех (ko, Z). (57.60)
500 ДИСПЕРСИЯ И ПРОХОЖДЕНИЕ СВЕТА ЧЕРЕЗ КРИСТАЛЛЫ [ГЛ. XI
Следовательно, при г > с0/2у поток фотонов убывает с расстоянием по
закону
JPh(k0, Z) = СоШрЬ (&о, z) =
== -- Гс0 ехр С - -НМЛ + v0 ехр (_^COs(57.61)' Со + Со L V Со + Оо/ V "о/
ycotioEoJ'
Г. Эффективные коэффициенты пространствен-ногозатуханияфотоноввкристалле.
При исследовании процесса поглощения света кристаллом не только в
резонансе удобно ввести эффективный коэффициент поглощения фотонов >ceff
(k), который определяется из интегрального равенства
СО СО
$ шРь {к, 2) dz = $ е~к*пг dz,
О о
из которого следует
Keii(k) = (\wPh(k, z)dz]j . (57.62)
Учитывая (57.49), можно выразить >еек через лапласовский образ Wfh = -y-
[Wi(k, s) + №2(/?, s)] с помощью равенства
Xeff (A) = pim W^\k, s)j_1.
Здесь Wi (к, s) и W2 {k, s) являются решениями системы уравнений
(57.50). Таким образом, проведя преобразования, аналогичные тем,
которые_были использованы при выводе (57.33), находим
<67-63>
где с -скорость света в вакууме, е0 = til - диэлектрическая проницаемость
