Теория твердого тела - Давыдов А.С.
Скачать (прямая ссылка):
как характеристика квантового перехода кристалла из основного в
возбужденное состояние. Хотя при этом в явном виде не учитывается
релаксация возникающих возбужденных состояний, такой расчет можно
оправдать (см. ниже) только при достаточно больших значениях параметров,
характеризующих релаксацию и обеспечивающих невозможность быстрого
обратного перехода возбуждения в излучение. Если Г - постоянная величина,
то из (57.36) следует
J(t) = J (0) ехр (- Г/). (57.37)
Переход от временного изменения (57.37) к пространственному осуществляют
простой заменой в (57.37) времени t на г/со, где с0 - скорость света в
кристалле, тогда коэффициент поглощения
х = Т/с0.
(57.38)
494 ДИСПЕРСИЯ и ПРОХОЖДЕНИЕ СВЕТА ЧЕРЕЗ КРИСТАЛЛЫ [ГЛ. XI
* Микроскопическая теория, базирующаяся на уравнениях
(57.15), позволит определить пределы применимости указанных выше
приближений. Чтобы описать процессы пространственного перемещения
квазичастиц в кристалле, необходимо их состояния определять через
волновые пакеты, в которых волновые векторы заданы с неопределенностью
Д?<1/а вдоль направления движения (а - постоянная решетки).
Состояние, соответствующее волновому пакету с центром к и
пространственным протяжением Дг^2я/Д| (ось z направлена вдоль к),
описывается матрицей плотности (57.6), в которой отличны от нуля только
функции
">/(* + 5i, * + !г; t) = wh2(k; t) (57.39)
с волновыми векторами и |2, направленными вдоль к и удовлетворяющими
условиям .
|Ь|, |Ы<Д?, Si + Ss = 0. (57.40)
В соответствии с (57.40) имеют место тождества
S (Si + Si) ехр [i (1х -12) г] == 0, •
, (57.41)
<¦ J (Si - 6s) wlh exP [" (Si - 62) r] = ~ 2 "'iii, exp [t (1, -12) r].
ii.i. h.h
Для состояний, описываемых волновыми пакетами с центром к, можно написать
приближенные равенства
1(r)*> W*-[_|"=<(Oa + SCo, - (57.42)
где Vh = d^h/dk - скорость экситонов, еа - скорость фотонов в кристалле.
Функции (57.39) удовлетворяют системе уравнений (57.15) при значениях
(57.16). При учете (57.42) можно написать
йи (±) ^ (12 - Ы Vk (±), 2 V* (±) = с0± "*,
Q2i^A*+F*(-Hli + ls). = - Шь.
Подставив (57.43) в (57.15), умножим обе части каждого равенства на
(2зх)^3 ехр {г (li -12) г} и просуммируем их по значениям li и 1г. Затем,
принимая во внимание (57.41), получим систему
§ 57] КВАНТОВОСТАТИСТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ 495
уравнений
lr, t Щ = [-V* + V* (-) ~] щ,
1г.*т=[-Ул + Ум(-)?\щ + ±Гш, . {Ъ7М)
Lr, / w3 = AkWi,
Lr, tw4 = - Anw3 - -J- fk&a
для функций
щ = Wi (ft; r, t) = 2 (*" 0 exP (6i - 6a) Г1- (57.45)
li.l,
В уравнениях (57.44) мы использовали сокращенное обозначение
Lr, t = V*+ | + V( + )^r.
Функции
Пех = Jj-wex(k\ г, 0, "ph = ^ tiiph (ft; г, t), (57.46)
где
ИУех (Л; Л 0 = (щ + ^з), . t^ph = (и>1 - (r)г)
определяют в момент времени t плотности экситонов и фотонов в точке г в
объеме кристалла U.
Найдем закон изменения функций wt = wi(k; z, t) в области z>0, если
стационарный поток фотонов плотности 1/U пересекает плоскость г = 0 в
направлении, совпадающем с направлением ft. В этом случае задача
распространения света в оптически изотропной среде сводится к одномерной
стационарной задаче. Все функции W[ = Wi(k\ г) не зависят от времени.
Итак, в качестве граничных условий на плоскости 2 = 0 примем wph(k, 0) =
1,
Wex (ft, 0) = О ИЛИ
Wl (ft, 0) = - w2 (ft, 0) = 1/V2, w3 (ft, 0) = wt (ft, 0) = 0. (57.47)
Если ввести краткие обозначения
f = fk, V = V*. A = A* = <s)k - % k,
'I
Lz = y + V (+) %-, Wi (z) = Wi (ft; z),
496 ДИСПЕРСИЯ И ПРОХОЖДЕНИЕ света через КРИСТАЛЛЫ [ГЛ. XI
то система уравнений (57.44) сводится к
LzWi (г) = JV (-) ~ - у] w2 (z), Lzws (z) = Aw4 (z),
Lzw2 (2) = |V (-) A - y] Wi (z) + kfWi (2), (57.48)
" Lzw4 (2) = - АйУз (2) - (2).
Щ
Эта система уравнений при граничных условиях (57.47) решается с помощью
преобразования Лапласа по пространственной переменной. Вводя лапласовский
образ
00
X {wi (2)} = Wt (s) = J dz e-szwt (2) (57.49)
0
и учитывая равенство
' J? {~щ (2)} = sX {w, (2)} - го, (0),
преобразуем при учете начальных условий (57.47) уравнения (57.48) в
систему уравнений для лапласовских образов функций ш,(г):
dsW2-РSWX-fWjn0 = -Со//2, (57 50)
asWs-bWi = 0.t
а5Г4 + АГ3 + /Г2/"о = 0,
где
as = s7(+)+v, . ps = sV(-)-y. (57.51)
Решив систему уравнений (57.50), в частности, находим
Wex (k, 2) = - C"a^2/2e"
("l-PI)K + A2)+/4/V
117 ~ l~1_______(as ft,) /2/2е0_______~|
р ' 4 (a* ~ Pi) ("J+д2) +/2aI/2eoJ'
(57.52)
В общем случае найти полюсы (57.52) и обратить преобразование
(57.49) не представляется возможным. Однако это легко сделать при
резонансном взаимодействии экситонов и фотонов, когда А = 0.
§ 57] КВАНТОВОСТАТИСТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ 497
В этом случае после обращения (57.52) получаем
<57-и>
owph (К z) ---- flvо Ф1 (\х, +
+ у^4у2^-Дуо^^°)ф2(ц, г/1'0)-
<5?-54>
где
Ц 553 У2 - foVo/(Co?o), S = 4у2Со - е0 7? (с0 + v0)2.
Функции Фх и Фа определены табл. 19. Напомним, что в. этих выражениях k0,
v0, с0 направлены вдоль оси г.
Сравнивая (57.53) и (57.54) с функциями временных изменений (57.22), мы
