Теория твердого тела - Давыдов А.С.
Скачать (прямая ссылка):
(р + Y) ^4 (р) + Д№4 (р) + fW2 (р) = 0.
Решив эту систему, находим
W№ (*. P) = Wyf^ = {[(Р + У? + ВЧ+Г1 - [(P+T)a+D(-)ГЧ.
w (Ь 0>+УМ(+) + Я(+) 1 (Р + уМ(-) + Я(~)
M/ph j/2 (p + v)2_D2(+) + (р+т)* + д.(_) '
w3(k, p)=A ^ex, P : 2/'-l--^ex, (57.21)
490 ДИСПЕРСИЯ И ПРОХОЖДЕНИЕ СВЕТА ЧЕРЕЗ КРИСТАЛЛЫ [ГЛ. XI
где
¦ У2+А2
¦ S2
B(±)-i( 1±ЗС±^&), Л(±) = уУ52± (у2 -А2- /2/е0),
(57.21а)
52 = у (у2 - А2 - /2/(е0)2 + 4v2A2.
Обращая преобразование (57.20), получаем искомые значения
wex(k, t) =^?{сЬ[Ш(+)]-cos[/D(-)]},
wph(k, 0 = <rv< {А (+) ch [Ш (+)] + А (-) cos [Ю (-)] +
+ sh Iю (+)] + §7=5sin № (-)]} • (57.22)
Функции (57.22) имеют более простой вид в области резонансного значения =
при котором А*0 = 0. В этом случае
Wex(kо, 0 = VЧ1Ф\(а, t/2) ехр(-y<J),
ayph(fto. 0 = [ф1(а, t/2) + 7оФ2 (a, t/2)]2ехр (-у0t), (57.23)
w3 (k0, t) = 0, wt (k0, t) = (2e0)~ 1/2/0Ф2 (a, t) exp (- y0t),
где
a^yl-e^fl (57.24)
функции Фх(а, x) и Ф2 (a, x) определены в табл. 19. Из выражений
(57.23) следует, что закон убывания плотности фотонов,
Таблица 19 Значения функций Ф/ (а, х)
a> 0 a <0
(r)1 (a> *) Ф2 (й, х) ch (х У а) sh (х Vа) cos (х У \ а [ ) sin (х У\ а
| )
У а /М
пропорциональной wpu, с течением времени в общем случае не описывается
простой экспоненциальной функцией. Эти выражения принимают особенно
простой вид при отсутствии релаксации (yo = 0). В этом случае вероятности
обнаружения системы в фотонном и экситонном состояниях осциллируют с
периодом т = = Поя/fa и определяются формулами
wPh(k0, 0 = cos2||, a>"(*o.-0 = sin2-g-. (57.25)
§ 57]
КВАНТОВОСТАТИСТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ
491
Две другие функции при этом равны
ОУз (ко, 0 = 0, Wi {k0, 0 = jTf sin (М-
(57,26)
Функция w4 (ко, /) пропорциональна скорости передачи возбуждения от
фотона к экситону.
. Рис. 74. Изменение вероятности обнаружения системы в фотонном и
экситон-ном состояниях для слабой и сильной связи фотонов и экситонов.
Пунктирные линии изображают эффективное экспоненциальное убывание
плотности
фотонов.
Из табл. 19 следует, что характер решений (57.23) зависит от знака a=syl
- fl/e0. Следует различать два предельных случая.
А. Выполняется неравенство
/о>е07§. (57.27)
Это неравенство будем называть условием сильной связи фотонов и экситонов
в пространственно-однородной задаче. В этом случае
1,0
0,5
О
Го*
оурь (ко, 0 = [cos ^ ^sin 2 ехР (~ VoO,
Wex (ко, t) = (cogeo)-1 /об- S iП2 (a"0/),
w3 - 0, Wi (k0, t) = (n0co0 V2 )~1 e~ yat sin (co0/)
(57.28)
где
492 дисперсия и прохождение света через кристаллы [гл. xi
Графики функций дарь и шех изображены сплошными линиями на рис. 74 для
случая f<,^=8y0n0.
Б. Выполняется неравенство
которое мы назовем условием слабой связи экситонов с фотонами в
пространственно-однородной задаче. В этом случае -
- /о/2у и можно использовать приближенные выражения
Графики функций шрь и wex изображены сплошными линиями на рис. 74 для
случая f0 = 0,6y0n0.
При отсутствии резонанса (Л=^Л0, А*=^0) в общем случае изменения с
течением времени функций шрь (k, t) и шех (к t) определяются очень
сложными выражениями (57.22). Однако иногда удобно ввести усредненную
характеристику временного изменения вероятности шрь (к, t) пребывания
системы в фотонном состоянии с волновым вектором k, заменив функцию шрь
(k, t) экспоненциальной функцией ехр (- -yeff (к) t) и выбрав -yeff так,
чтобы выполнялось интегральное соотношение
Из этого равенства следует, что эффективный параметр Ye"f,
характеризующий эффективное экспоненциальное временное убывание фотонов,
должен определяться выражением
Сравнивая (57.32) с (57.20), мы убедимся, что у^к(к) выражается
непосредственно через лапласовское изображение WPh (к, р) при р -0. Таким
образом, находим
/о <
(57.30)
a>ph(*o, O^e-vo^ch ^y)/aj + sh^)/ajj2"=i
""exp(-/^/2e0Yo),
e 2e0To _____g- 2Vot
CO
CO
^ шрь (k, t)dt = ^e Veff< dt.
о
о
(57.32)
КВАНТОВОСТАТИСТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ
'493
Если энергии фотонов и экситонов зависят от абсолютных значений ft, то,
учитывая (57.19), можно записать выражение (57.33) в приближенном виде
. (W.34)
где
fo=h0, Vo - Y*o> Wo = 8(*o)
и вектор к0 определяется из условия пересечения кривых дисперсии
свободных экситонов и фотонов, т. е. из условия
Ш (k0) = = cofto.
V 8о
57.2. Прохождение света через кристалл. При экспериментальном
исследовании поглощения монохроматического света кристаллом обычно
предполагают, что интенсивность проходящего через кристалл света
уменьшается по экспоненциальному закону Бугера - Ламберта
J(z) = J (0) ехр (-xz). (57.35)
Измеряя отношение J (z)/J {0), можно определить коэффициент-поглощения
света х, характеризующий степень затухания монохроматической волны по
мере ее распространения.
При теоретическом описании часто задача о пространственном затухании
заменяется исследованием временного затухания фотонов. На основе золотого
правила Ферми (нестационарная теория возмущений в первом порядке)
вычисляется вероятность поглощения света в единицу времени
= (57.36)
