Теория твердого тела - Давыдов А.С.
Скачать (прямая ссылка):
состояний, квадраты частот которых при условии ka 1 для волновых
векторов, параллельных оси z, могут быть
ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ В КРИСТАЛЛЕ
473
представлены в виде (55.3), т. е.
Ql = Q|j -f- ak2c2.
Для экситонов первой полосы экситонного поглощения в антрацене а"=*10-8,
для первой полосы экситонного поглощения в кристалле сернистого кадмия
аг="10~5.
Если дипольный момент экситона направлен параллельно оси х, то в области
частот, близких к Я0, компонента тензора диэлектрической проницаемости
ехх (со, к) может быть выбрана в виде (54.2). Поскольку теперь мы
интересуемся не только значениями ю = ?2г, то не будем проводить
упрощений типа (56.2). Таким образом, примем
гхх (со, к) = е0 - /2 {[со + iy (со)]2 - Я!}-1,
где параметр связи экситонов с фотонами /2 определен выражениями (54.3) и
(54.3а). Параметр' затухания экситонов y(co) является функцией частоты и
температуры кристалла.
Согласно макроскопическим уравнениям Максвелла отличная-от нуля
составляющая векторного потенциала A (z, t) вынужденного
электромагнитного поля в полубесконечном кристалле (Osgz<oo),
возбуждаемого сторонними токами
jx(z, t) = joe~iat8(z), iy (z, 0 = /*(z. 0 = 0. определяется выражением
Ax(z, t) = ^io § dk&xx(<", k)eik*, z^zO, (56.68)
где
(r)xx (to, k) = 4л [c2?2 - (й2ехх (со, й)]-1 (56.68а)
- гриновская функция фотонов, которая может быть аналити-
чески продолжена в область комплексных значений k.
' Вычисляя Ax(z, t) методом теории вычетов, получим выражение
2
Ах (z, t) = j0 2 Bi ехр [i (ktz - со/)], (56.69)
i= l
где kh вообще говоря, комплексные волновые векторы, соответствующие
полюсам гриновской функции фотонов .^*(со, k)\
BL - коэффициенты, пропорциональные вычетам подынтегрального выражения
(56.68) при k = kh Так как диэлектрическая проницаемость определяется
только в длинноволновом приближении, то выражения (56.69) имеют смысл
только при выполнении неравенства
а 1 к | < 1.
474 ДИСПЕРСИЯ И ПРОХОЖДЕНИЕ СВЕТА ЧЕРЕЗ КРИСТАЛЛЫ [ГЛ, XI
Каждое слагаемое в (56.69) можно назвать нормальной волной (см. § 54). В
области вещественный частот со, соответствующих поглощению, амплитуды
нормальных волн зависят от координаты z согласно экспоненциальному закону
^ехр(-г \mkt). Следовательно, нормальные волны вообще не совпадают с
длинноволновыми элементарными возбуждениями в кристалле (поля-ритонами),
которые по определению характеризуются вещественными волновыми векторами
(с комплексными частотами) и, следовательно, пространственно-однородны.
Вводя комплексный показатель преломления N = ck/со, преобразуем
гриновскую функцию {56.68а) к виду
= (со, N) [{N2 - 80) X (со, N) + /2]Л
где
if (со, N) = (a + iy)2-Ql-aN2(1}2. (56.70)
Векторный потенциал- (56.68) при этом примет вид
A (z t) - - ine~iat ^ dN ^ехр Уа^г/с) /сл 7П
Ах (Z, t) ш lae (№-ео)Х(о>, N) + p- (э"-'1)
Полюсы подынтегрального выражения (56.71) в комплексной плоскости
переменной N определяются уравнением
(N2 - 80) X (N, со) +/2 = - a2coW4 +,р (со) N2 + q (со) = 0, (56.72)
где
р (со) = рх + г'р2 = [со + iy (со)]г - + ae0co2,
Рх = со2 (1 + ae0) - Qo - у2 (со), р.2 == 2соу (со);
q (со) = qx + iq2 = е0 [Qf| - (со + ty)2]
qx == е0 (Qf| + у2 (со) - со2), q2 = - 2е0соу (со);
/2 = e0(Q|| - Qo).
t
Уравнение (56.72) имеет два различных корня
2ааът,2=р((й)±УТЩ' (56.73)
при наличии пространственной дисперсии, т. е. при а'ФО, и при условии
/ • А (со) == р2 (со) + 4aq (со) Ф 0. (56.73а)
В этом случае выражение (56.69) принимает вид
ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ- В КРИСТАЛЛЕ
475
Таким образом, отношение амплитуд двух нормальных волн, образующих
суперпозицию (56.74), при выполнении неравенства (56.73а) определяется
выражением
Вг N2 (NI - Eo)
В2 N,(N f -е0)*
(56.76)
Оно очень велико, если Af2^>Afi. Например, при \N2\ = 10ijVi[е0 отношение
| Bj/Ba j> 103, т. е. нормальная волна с относительно большим комплексным
показателем преломления практически не возникает' в кристалле.
Исследуем условия обращения в нуль дискриминанта - Д (со), уравнения
(56.72), квадратного относительно N2.' Выделим действительную Ai и мнимую
Д2 части A = Ai + i'A2. Тогда условие Д (со) = О сводится к двум
уравнениям
Дх (со) = [со2 (1 + ае0) - у2 - QqJ2 - 4со2у2 + 4асо2е0 [Qf| + у2 - со2]
= О,
(56.77)
Д2 (со) == 4coy [со2 (1 - ае0) - у2 - Q"] = 0. (56.77а)
В общем случае эти уравнения несовместимы. Однако в связи с тем, что
величина у существенно зависит от частоты и темпе? ратуры Т, в некоторых
кристаллах вблизи экситонных^ полос с положительной эффективной массой
экситонов может реализоваться случай, когда А (со, Т) = 0. В самом деле,
Д = 0 при частоте
(r)o=]/(l-ae0)(Q? + a/2), (56.78)
если температура Т кристалла такова (Т0), что
V(co0, T0) = fVa = y0. (56.79)
Температуру Т0 и частоту со0 будем называть "критическими". При
"критической" температуре и частоте обе нормальные волны в Кристалле
тождественно совпадают (Ni - N2, В1 = В2), т. е. имеют одинаковые
амплитуды, показатели преломления и коэффициенты поглощения. Согласцо
