Теория твердого тела - Давыдов А.С.
Скачать (прямая ссылка):
экситон-фотонного взаимодействия (в резонансе (со* = ^*) значение fl
определяется выражением (54.3)); F - сила осциллятора
квантового перехода из основного в экситонное состояние; =
= 4ne2/(mv) - квадрат плазменной частоты; и -объем элементарной ячейки
кристалла. Полагая, например, цЦ^10~21 см3, получим Ц,"^3-1015 (г1.
Систему взаимодействующих экситонов и фотонов с гамильтонианом
На - Нех "Ь Hph "Ь Hint (57.4)
будем называть динамической системой. Взаимодействие экситонов
динамической системы с фононами колебаний решетки приведет к частичному
или полному переходу энергии возбуждения в тепло. Систему фононов,
находящуюся в тепловом равновесии при температуре Т, будем называть
термостатом. Взаимодействие с термо-¦ статом приведет к диссипативным
процессам, в результате которых экситонные состояния А% 10) (ft -ф 0)
будут квазистационар-ными, т. е. будут характеризоваться временами жизни
1/у*. Динамическая система, взаимодействующая с термостатом, становится
открытой. Ее состояние описывается матрицей плотности, содержащей
операторы динамической системы и феноменологические параметры у (ft),
зависящие от температуры и характеризу-
§ 57] КВАНТОВОСТАТИСТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ 487
ющие диссипативные процессы. Эта матрица плотности р (/) при Т = 0 должна
удовлетворять уравнению ([5], гл. XIII)
ф
dt
i [р, Яа]_ - Y (Л) р]+ - 2Ak9Ai}, (57.5)
*
при этом
[a, b]±==ab±ba.
Решение уравнения (57.5) можно искать в виде
р (0 = w">Mo + S S'S' Щ (*ь k2- t) Mt (Ль k2), (57.6)
1 = 1 *,
где
Y~2Mo = AoAq-\-йойо, (57.7a)
У2Mi (Ль Л2) = + dkfit,, (57.76)
. ]/2Л42(Ль Л2) = - аЙ1а^, (57.7в)
]/^2Л4з (Ль k2) = Atfih,-^ Akflt^, (57.7r)
^М,(Ль = (57.7Д)
Операторы Мг (I -0, 1..., 4) удовлетворяют соотношениям Sp {Mt (Ль Л2) Mp
(kl, Щ = ei.i.6*,.*^*,.*!. (57.8)
С помощью (57.8) из (57.6) находим
щ (Ль л2; 0 = Sp {р (0 Mi (Ль щ, (57.9)
Spp(0 = m"0(0 + S,[(r)eX(ft, Л; О + Л; 0]=1> (57.10)
к
где
]/2йУех (Ль Л2; 0 = ayi(*i. *2! *) + tM*i. *2! 0. (57П)
1/2йУрь(Ль Л2; 0 = ayi(*i. *2; 0 -^2 (Ль Л2; /).
При учете (57.76), (57.7в), (57.9) и (57.10) мы видим, что функции ^ех(Л,
Л; t)^0 и шрь(Л, Л; /)^0
следует рассматривать, соответственно, как вероятности найти в
динамической системе экситон либо фотон в состоянии с волновым вектором Л
в момент времени t\ w0 (t) ^ 0 - вероятность того, что в динамической
системе нет ни фотонов, ни экситонов.
Подставив (57.6) в (57.5) и используя"(57.8), получим систему уравнений
для функций w0(t)\
dw0 (t) dt
= 2 ^ y(k) wex (k, k; t) (57.12)
488 ДИСПЕРСИЯ И ПРОХОЖДЕНИЕ СВЕТА ЧЕРЕЗ КРИСТАЛЛЫ [ГЛ. XI
и функций wt (ku л2; t) для каждой пары значений Ль Л2.
Рассмотрим далее только случай, когда кх и к2 можно представить
в виде
к\ - к-\-\и к% - к-\-%2, (57.13)
где |i и \ч удовлетворяют соотнЪшениям
Ii + l2 = 0, \h\, |Ь|<Д?<|*|. (57.13а)
В этом случае уравнения для
(Л-)-? 1, Л + 0> 2, 3, 4,
при использовании приближенных значений
y(k)^>y (k^ *=& у (Л2) (57.14)
имеют вид
Lwi = [- y(k) + iQn (-)] w2, Lw2 = [- у (A LW3 = Q2ltt>4,
Lwi = - Q21w3 - ~f(k) w2,
По
Lw2 = [- у (k) + 1Й21 (-)] aui + / (k) wit
"0
(57.15)
где
L = ^ + Y (к) - l'^2i (+).
2Q2i(±) = ^A4-^A,±("Ai-"A1), (57.16)
2Q21 = со*, + со*, - (Шк1 + &tl).
Решим эту систему уравнений в следующих разделах этого параграфа для двух
предельных случаев: а) в начальный момент экситонов нет и
электромагнитное поле равномерно распределено по объему кристалла и
исследуется его дальнейшее временное изменение; б) исследуется
распространение света внутри кристалла, при его нормальном падении на
поверхность кристалла.
57.1. Временное затухание в кристалле пространственно-однородного
электромагнитного поля. Предположим, что кристалл большого объема U
окружен зеркальными стенками, или на границах кристалла для поля и
экситонов введены одинаковые циклические граничные условия. В этом случае
достаточно рассмотреть состояния с определенным значением волнового
вектора ki = k2 = k.
Пусть в начальный момент времени t = 0 в кристалле был один фотон. Тогда
функции ш*(Л, Л; t) = Wi(t) имеют значения
Щъ (0) = 1, wex (0) = до3 (0) = до4 (0) = 0. (57.17)
§ 57] КВАНТОВОСТАТИСТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ 489
В этом случае (0) = - w2 (0) = 1/^2 и уравнения (57.15)
прини-
мают вид
¦' Lfiu1(t) + yw2(t) = 0, Ltw2(t) + yw1(t)-~fwi(t)=0,
? (57.18)
Ltw3 (t) - AWi (t) = 0, LtWi (t) + Aw3 (0 + - fWi (t) = 0.
n0
где
Y = Y(ft), / = /*, L, = y + |, A = M*-g*. (57.18a) Функции
"ex (0 = -(*) + <М0]. ЯрЬ (0 = [и"1 (0 - И"! (0] (57.19)
определяют плотности электронов и фотонов в кристалле в момент времени t.
Система уравнений (57.18) с начальными условиями (57.17) решается с
помощью преобразования Лапласа по временной переменной. Вводя
лапласовский образ
СО
X {wi (0} = (р) = ^ e~piWi (t) dt (57.20)
о
и учитывая равенство
преобразуем при учете начальных условий (57.17) уравнения
(57.18) в систему уравнений
(p + y)Wl(p) + yWa{p) = W%
(Р + Y) (р) + yWi (р) - fW4 = -1 /V2,
(Р "Ь Y) ^3 (Р) - 4 (Р)= 0,
