Устойчивость движения - Четаев Н.Г.
Скачать (прямая ссылка):
С), то равновесие неустойчиво с двумя степенями неустойчивости.
iO
ГЛ. 3. УСТОЙЧИВОСТЬ ПРИ ПОТЕНЦИАЛЬНЫХ СИЛАХ
Критерий знакоопределенности квадратичных форм
20. Для задач устойчивости имеют значение не столько величины
коэффициентов устойчивости Пуанкаре, сколько их знаки. Для определения же
знака корней нет необходимости разрешать вековое уравнение; достаточно
знать необходимые и достаточные условия, при выполнении которых
потенциальная функция будет определенно-положительной.
Для решения последней задачи можно использовать известный критерий
Гурвица отрицательности вещественных частей корней алгебраического
полинома, в данном случае полинома А (-к). Наиболее простым и удобным для
вычислений является метод Лагранжа, заключающийся в постепенном выделении
полных квадратов из квадратичной формы. Интересен метод Кронекера
приведения квадратичной формы к сумме квадратов, так как он приводит к
неравенствам, которые весьма просто связаны с критерием Сильвестра.
Вещественная квадратичная форма
ф:
2) CijXiXj
(Cjj - Cjt)
тогда и только тогда будет определенно-положительной, когда все главные
диагональные миноры ее дискриминанта положительны:
-п
>0,
С11 с12 с-21 са
>0,
Си
>0.
Доказательство. Для сокращения письма обозначим главные диагональные
миноры дискриминанта через
Сг
Сц . . • С1Г
сп •• • Ст,
а через Crs обозначим минор (со знаком) дискриминанта Сп, отвечающий
элементу crs.
Преобразованием переменных
Xi = U;
¦ нп (i п), хп н,(
форму ф приводим к виду
ф
с
в чем можно убедиться непосредственной подстановкой. Отсюда
КРИТЕРИЙ ЗНАКООПРЕДЕЛЕННОСТИ КВАДРАТИЧНЫХ ФОРМ 41
С.
отношение п " равняется одному из коэффициентов устойчивости
п-1
формы <р в переменных их, . . ип.
Продолжая этот процесс дальше над формой
П-1
убеждаемся в достаточности условий теоремы.
Необходимость условий теоремы доказывается просто. Если форма
необходимо должны совместно удовлетворяться лишь при нулевых значениях
всех переменных xs = 0 (s - 1, . . ., п); отсюда необходимо, чтобы
определитель из коэффициентов ci} последней системы был бы отличен от
нуля: Сп Ф 0. Если ф (хг, . . ., xn_lt хп) является определенно-
положительной, то определенно-положительной по отношению к хх, . . ., хп-
г будет также и форма Ф [xt, . . ., xn_lt 0), а отсюда следует Cn_i Ф 0.
Продолжая эти рассуждения, выводим, что если ф определенно-положительная
форма, то все главные диагональные миноры ее дискриминанта необходимо
отличны от нуля: Ст Ф 0 (г = 1, . . ., п), и тем самым указанное
преобразование формы ф к сумме квадратов возможно на каждом шаге; а из
приведенной к сумме квадратов определенно-положительной формы ф следует
необходимость условий теоремы.
Замечание. В дальнейшем мы будем рассматривать иногда более общие
квадратичные формы от комплексных переменных Xj с комплексными
коэффициентами
для которых ctj - ся. Такие формы носят название эрмитовых. Условия
знакоопределенности и именно положительности формы Ф имеют тот же вид,
что и в критерии Сильвестра'1).
1) Доказательство этого предложения читатель может найти в книге П. А.
Широкова "Тензорное исчисление", ч. I, § 25 (М.: ГТТИ, 1934), где в § 20
можно также найти н более развернутое доказательство критерия Сильвестра.
1
является определенно-положительной, то уравнения
Ф - CtjZiXj,
42
ГЛ. 3. УСТОЙЧИВОСТЬ ПРИ ПОТЕНЦИАЛЬНЫХ СИЛАХ
21. Пример. Материальная система с тремя степенями свободы находится
под действием сил, потенциальная функция которых имеет вид
V = у К (я1 + 4%) + 2о?3 (q1-\-q2) + b2q%
где qs суть независимые координаты материальной системы, а, b, а, -
некоторые вещественные постоянные.
Пусть положение, для которого все qs суть нули, является изолированным
положением равновесия. Требуется определить условия устойчивости этого
положения равновесия.
Согласно теореме Лагранжа это положение равновесия будет устойчивым, если
в нем потенциальная функция V имеет минимум.
Для того чтобы V была определенно-положительной, ее дискриминант
а3 0 а О а3 а а а Ьг
должен иметь все главные диагональные миноры положительными. Отсюда
вытекают условия
а2 > 0, а2Ь2 - 2а2 > 0.
Пример. Свободная материальная точка массы т движется в пространстве под
действием сил, потенциальная функция которых в цилиндрических координатах
г, 0, г имеет вид V ~ <p (г, z). Живая сила
Т = -J- (г'- + r20'2 + г'2)
и потенциальная функция не зависят явно от 0; поэтому 0 является
циклической координатой (п. 9), которой отвечает интеграл пгг2в' - р.
Отсюда функция Рауса имеет вид
Для стационарного движения должны выполняться условия
^ = 0 ^ = 0-dr и' dz и'
пусть этим условиям удовлетворяют г = r0, z = z0. Это стационарное
движение будет устойчивым согласно теореме Рауса, если измененная
потенциальная функция
W = ф + Р-
2 mr2
КРИТЕРИЙ ЗНАКООПРЕДЕЛЕННОСТИ КВАДРАТИЧНЫХ ФОРМ 43
имеет для него минимум. Пусть г = r0 + ?, z = z0 -f- т|; тогда
JF (Г, z) W (r0, Z0) == -j [фгг?2 + 2фгг|Т] + фггЛ2 + ? Фг?2] + * ¦ -,
