Устойчивость движения - Четаев Н.Г.
Скачать (прямая ссылка):
Найденные значения постоянных удовлетворяют не только полной системе (7),
но и любой ее части, получающейся исключением некоторого числа систем
снизу. Обстоятельство это доказывает существование частных решений
исследуемого вида, в которых степень вековых членов начинается с
произвольного числа, меньшего чем те. Другими словами, одновременно с
искомым частным решением наивысшей степени те для отмеченного корня А
Xi = /; (t)e^,
где
tm
/! (О - -^li "Г • • ¦ "Ь Ат+1, ;, существуют производные от него, частные
решения вида
xi = fik) (t)eu,
где f\H) (t) обозначает к-ю производную по t от полинома /; (<) (А; = 1,
. . ., те). Таким образом, для рассматриваемого характеристического корня
А, = А0 кратности р = те + 1 мы определим полную группу из р частных
решений, очевидно, линейно независимых между собой, потому что наивысшие
степени t в вековых членах этих решений все различны.
26. Остановимся теперь на общем случае, когда корень А = А0 обращает в
нуль все миноры определителя А (к) до порядка к - 1 включительно, не
обращая в нуль по крайней мере одного из миноров к-го порядка.
В этом случае первая из систем (7) определяет к линейно независимых
решений для Ai}. Эти к линейно независимых решений мы определим следующим
образом. Пусть (А - А0)м> является множителем наивысшей степени рг для
общего наибольшего делителя D "_г миноров г-го порядка определителя А (А)
(г = 1, . . .
. . ., к). Рассматривая производные от этих миноров по А и замечая, что
они выражаются линейно через миноры на единицу высшего порядка,
убеждаемся в существовании неравенств
р > Pi > . . . > Рк-1 > pk = О,
где р обозначает кратность корня А = А0 для характеристического
определителя А (А).
Среди миноров r-го порядка выделим минор (со знаком) *)
й...}г,
получающийся после вычеркиваний из определителя А строчек (j, . . ., iT и
колонок ]\, . . ., который бы имел А = А0 корнем
*) Минору Д{ л j , полученному вычеркиванием из определителя строк с
указателями iu . . ., ir и колонок с указателями ]\, . . ., /г, ус-
/ ж \ • *+ir+rr /¦*
ловимся приписывать знак (-1) г , где а обозначает сумму
нарушений порядка в рядах г*, . . iT и Д, . . уГ.
ЧАСТНЫЕ РЕШЕНИЯ
53
точно кратности рг, а минор ,,jr l имел бы А = А0
корнем кратности рг_,. Предполагая А, отличным от Х0, составим выражения
ij...i , ji-.j Л
. u (*=г,г-г (10)
(Л - Ад)
Они определяют Aljs (s - г, n) в виде полиномов от X, из которых по
крайней мере один и именно А 1;у не уничтожается при А = А0. Не вошедшие
в это определение Atil, . . .,Aljr положим равными нулю. Выражения Ак,-
(к = 2, 3, . . .) определим при этом согласно формуле (9).
Так определенные полиномы Atj подставим в первую систему из систем (7)
?(Ри - б;Л) Аи = - -ц; ^ (Pi;s - 6usA) j je-
i (A - A") r ^
Стоящая здесь в правой части сумма будет тождественно нулем, коль скоро i
= ik, а к^> г, потому что тогда она будет пропорциональна определителю, у
которого будут две одинаковые строчки. Если i - ik, а к ^ г, то, оставляя
без выяснения знак, имеем
____________________ -t-Д. . ...
> , (Piki - •
V (А-Х"Л
Согласно выбору! в правой части этого соотношения
стоит полином от А, имеющий А = А0 корнем кратности, по крайней мере, не
меньшей рг_, - рг, если к <[ г, и точно равной рг_! - рг, если к - г.
Итак, принятыми выражениями Ац в первой из систем (7) будут тождественно
удовлетворены все уравнения i = ik независимо от значений А, если к г, а
уравнения при к = 1, . . ., г будут удовлетворены согласно последнему
соотношению, если положим А = А0.
Дифференцируя по А тождественно удовлетворенные уравнения (i - ik, к^> г)
первой из систем (7), замечаем, что при наших определениях величин Akj
будут удовлетворены все подобные уравнения (г = ik, к^> г) всякой из
систем (7) независимо от значения А. А так как правые части последних
соотношений (г = = ik, к г) имеют А = А0 корнем во всяком случае
кратности не ниже рг_( - рг, то значения всех производных от этих
выражений до порядка рГ_, - рг - 1 включительно будут равны нулю при А =
Ае, а это согласно (9) обозначает, что оставшиеся уравнения (г = ik, к г)
первой, второй, . . ., (pr-i - рг)"й системы (7) будут удовлетворяться
значениями полиномов Akj при А = Afl.
54
ГЛ. 4. О ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЯХ
В системе же (рг1 - Иг + !) й не будет удовлетворяться по крайней мере ее
i - г>е уравнение, так как (pr_t - рГ)-я производная от
ii---Jr-i
(Я - X0fr
отлична от нуля при Я, = Я0.
Итак, при взятых определениях (10) и (9) значения полиномов Akj при Я, =
Я0 удовлетворяют pr_t - рг системам (7), и, следовательно, наивысшая
степень т при таких определениях будет тп = pr_, - рг - 1.
Применяя этот прием к минорам порядка г - 1, . . ., к, мы получим к
частных решений с наивысшими степенями т = pr_t - - рг - 1. Каждое из
этих решений, как было замечено ранее, дает группу из pr_j - рг решений
путем дифференцирования по t полиномов, стоящих в производящем решении
множителями при еи.
