Устойчивость движения - Четаев Н.Г.
Скачать (прямая ссылка):
величине значений переменных q} существует область, где силовая функция U
(обращаясь в нуль, когда все qs -нули) имеет положительные значения.
Силовая функция U должца определять действующие на материальную систему
силы, поэтому она должна иметь всюду в рассматриваемой области (пусть
непрерывные) частные производные.
Дифференциальные уравнения возмущенного движения возьмем для простоты в
форме канонических уравнений Гамильтона
^2 _дН_ dPj дН
dt др ¦ ' dt dtjj '
где имг ульсы pj определяются формулами
дТ
Уравнения эти имеют интеграл живых сил Н = Т - U = h.
Ограничимся случаем, когда силовая функция U представляет некоторую
однородную функцию степени тп относительно переменных qs
U = U m
и когда при этом для сколь угодно малых по абсолютной величине значений
переменных qs она может принимать положительные значения.
Положение равновесия является при этом неустойчивым1).
Действительно, рассмотрим функцию
W = -H^iPjqj. i
В области малых по абсолютной величине значений координат qx, qH и
импульсов рг, . . ., рк выделим существующую при наших предположениях для
сколь угодно малых по абсолют-
*) Четаев Н. Г. Sur la reciproque du theorem de Lagrange // Comptes
Rendus.- 1930,- V. 190.
Четаев Н.Г. О неустойчивости равновесия, когда силовая функция не есть
максимум//Учен. зап. Казан, ун-та.- 1938.- Т. 98, № 9.
ТЕОРЕМА ЛАГРАНЖА
35
ной величине значений переменных q}, pj область С, определенную такими
совместивши неравенствами:
я<о и 2pjqj> о.
j
Полная производная по t от функции W имеет в силу дифференциальных
уравнений возмущенного движения вид
Подставляя сюда явные выражения
Н = Т -r-Um и Pi~%r, вч}
согласно уравнениям движения и теореме Эйлера об однородных функциях
имеем
И"=-я[2Г+тС7",-?е|,/].
j
В рассматриваемой области С значения полной энергии Н должны быть
отрицательны по определению области С; а так как Н - = Т - Um, то в этой
области С должно быть Um 0. Вследствие того что связи, наложенные на
материальную систему, предполагаются не зависящими от времени t, живая
сила системы Т представляет определенно-положительную функцию
относительно импульсов pj
Т = 2igarPsPr
8" Г
с коэффициентами gSr, являющимися некоторыми функциями координат glt . .
., qk. Для всех возможных значений координат qs все главные диагональные
миноры дискриминанта живой силы I! grs И должны быть положительными; в
положении равновесия, где все координаты qs равны нулю, эти главные
миноры равны некоторым положительным величинам, ограниченным снизу.
Поэтому главные диагональные миноры дискриминанта квадратичной
относительно pj формы
Ц,(2е*г-Е^9з)р.Рг
s, г i 3
для достаточно малых по абсолютной величине значении координат qs также
будут все положительными, а сама форма
2Т - будет определенно-положительной относитель-
но ps. Итак, стоящее в И'' в квадратных скобках выражение в области С
будет положительно; иными словами, в области С
2*
36
ГЛ. 3. УСТОЙЧИВОСТЬ ПРИ ПОТЕНЦИАЛЬНЫХ СИЛАХ
для численно достаточно малых значений координат q значения производной
W' будут положительны, т. е. одного знака с W.
В области С функция W удовлетворяет всем условиям теоремы о
неустойчивости п. 13, что и доказывает неустойчивость рассматриваемого
положения материальной системы. Так же просто, исходя из прежнего
определения функции W и обдасти С, можно доказать неустойчивость
положения равновесия, когда потенциальная функция имеет вид
причем для сколь угодно малых qs функция U может принимать положительные
значения, и в области С знак выражений Um 4 4- Urn+1 4- ... и mUm 4- (m
4- 1) Um+1 4* . . . определяется формой Vm.
Случай, когда т ~ 2 и когда знак силовой функции U определяется членами
второго порядка, без необходимости рассматривать члены высших порядков,
был исследован впервые Ляпуновым 1)*.
Коэффициенты устойчивости Пуанкаре
18. Для конкретных приложений теоремы Лагранжа полезно знать критерии
минимума потенциальной функции V = - U.
В области, близкой к положению равновесия материальной системы, где
переменные qs все имеют нулевые значения, разложение функции V в ряд
Маклорена начинается в общем случае с квадратичных членов
так как свободный член V (0, . . ., 0) обращается в нуль согласно условию
п. 16, а линейные члены разложения уничтожаются в силу уравнений
равновесия
Суммирование распространяется по всем возможным значениям индексов i, j -
1, . . ., к; через ai} здесь для сокращения письма обозначены вторые
частные производные от У в положении равновесия
U - Um 4~ Uт+1 4'
V =±?aljqiqj + . . .,
*) Ляпунов А. М. О неустойчивости равновесия в некоторых случаях, когда
функция сил не есть максимум //Ляпунов А. М. Общая задача об устойчивости
движения.- М.: Гостехиздат, 1950.
КОЭФФИЦИЕНТЫ УСТОЙЧИВОСТИ ПУАНКАРЕ
37
Линейным преобразованием переменных qs квадратичная форма
2/= 2 аиЪЬ >. i
может быть приведена к сумме квадратов. Действительно, в ft-мер-ном
вспомогательном евклидовом пространстве проведем взаимно ортогональные
