Устойчивость движения - Четаев Н.Г.
Скачать (прямая ссылка):
соответствующем возмущенном движении при ? > f0. В самом деле, если бы
для некоторых начальных значений ац0 существовало такое число е, то по
свойству функции У как функции, допускающей бесконечно малый высший
предел, существовало бы такое число е, определяющее область (е)
21 xf < Б,
8
для любых точек которой значения У были бы меньше е. Следовательно, если
бы такое е существовало, то значения переменных xs лежали бы где-либо в
области
21 хо^ А-
8
Обозначим через V точную низшую границу функции И в этой замкнутой
области. Граница эта неизбежно будет некоторым положительным числом, ибо
РУ' представляет функцию определенно-положительную. Отсюда, согласно
второму из условий (4), Для любого t t0 значения функции У' в этой
области будут
26
ГЛ. 2. ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ ПРЯМОГО МЕТОДА ЛЯПУНОВА
удовлетворять условию
- У' > W' > Г > 0:
из уравнения
V - У0 = J V' dt
ВЫВОДИМ
y<v0~ г (t -10).
А это невозможно, ибо левая часть неравенства есть
определенноположительная функция t, а правая при достаточно большом t
делается отрицательной.
Итак, как бы мало ни было число е, всегда наступит момент, когда функция
У сделается меньше е. А будучи убывающей функцией t, она затем всегда
будет оставаться меньше е. Следовательно, если за е мы примем точную
низшую границу функции W в области
Р<
S
то всегда наступит момент, когда функция У сделается и будет затем
оставаться меньше е; начиная по крайней мере с этого момента, значения
переменных xs будут всегда оставаться в области
240-
S
Отсюда замечаем, что при всяких начальных возмущениях ,rs0, лежащих в
области (X), значения переменных xs с беспредельным возрастанием t
стремятся к нулю *.
12. Если дифференциальные уравнения возмущенного движения таковы, что
существует функция V (t, хх, . . .,хп) такая, что функция V - 0 (t) W (0
(t0) = 1) является постоянно-положительной при определенно-положительной
и не зависящей от времени функции W и при монотонно возрастающей до
бесконечности вместе с ростом t функции в ((), а ее полная производная по
времени У' является постоянно-отрицательной или нулем, то невозмущенное
движение асимптотически устойчиво, а область возможных значений
переменных хх, . . ., хп определяется неравенством
в котором У0 обозначает значение функции V в начальный момент t0 при
начальных значениях переменных х10, . . ., хп0.
Наиболее простые определения области возможных значений хг, . . ., хп
получаются, если за функцию W принята функция У (я? + ... -f xl), где р -
положительная постоянная.
ТЕОРЕМА О НЕУСТОЙЧИВОСТИ
27
Теорема о неустойчивости
13. Чтобы обнаружить неустойчивость невозмущенного движения. достаточно
заметить всего одну траекторию, выходящую за заданную область (2), при
сколь угодно малых числовых значениях возмущений xs0.
Совокупность значений переменных xs, удовлетворяющих при предположении
(2) неравенству F > 0, условимся называть областью F> 0, а поверхность F
= 0 - границей последней. Бели функция F зависит явно от t, то при
изменении t область F О будет также изменяться.
Если ограниченная в области F О функция W такова, что для всякого
положительного I, как бы мало оно ни было выбрано, найдется такое
отличное от нуля число Я, что при
V^O
8
будет выполняться неравенство
I W | < I,
то будем говорить, что W допускает бесконечно малый высший предел в
области V 0. Этому требованию удовлетворяет всякая допускающая бесконечно
малый высший предел функция W.
Функцию W (t, х1г . . хп) будем называть знакоопределенной в области F^>
0, если она может обращаться в нуль в этой области лишь на границе F = 0
и если для произвольного положительного е, как бы мало оно ни было
выбрано, найдется такое отличное от нуля число I, что при xs,
удовлетворяющих условию I F | е, и для всякого t t0 имеет место
неравенство
I W | > /.
Очевидно, что знакоопределенной в области F^>0 будет функция
ЯF + W,
если W представляет функцию положительную или тождественно равную нулю, а
Я есть отличная от нуля положительная постоянная. Если F не зависит от t,
то знакоопределенной в области F > 0 будет всякая не зависящая от t
функция W, если последняя нигде не уничтожается в области F 0, а на
границе области, т. е. при F - 0, может уничтожаться. Всякая функция F
определенно-положительна в своей области F 0.
Всякая знакоопределенная функция U будет знакоопределенной в области F >
0, если функция F допускает бесконечно малый высший предел в области F ]>
0. Действительно, если F допускает бесконечно малый высший предел в
области F > 0, то согласно определению для заданного е, сколь бы мало оно
ни было, найдется
28
ГЛ. 2. ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ ПРЯМОГО МЕТОДА ЛЯПУНОВА
такое число Я, что область V^> г будет лежать вне сферы 2j Х1 - = Я. Если
U есть знакоопределенная, пусть положительная, функция, то по определению
будет существовать не зависящая от t определенно-положительная функция W,
такая, что функция
U - W
будет неотрицательной. Поэтому точная низшая граница (неизбежно
