Устойчивость движения - Четаев Н.Г.
Скачать (прямая ссылка):
невозмущерное движение называется установившимся. В последнем случае
уравнения в вариациях будут получаться с постоянными коэффициентами.
24. Рассмотрим систему линейных дифференциальных уравнений с
постоянными коэффициентами ptj
dx, dt
Будем искать частное решение вида
Xi - ^11 + A2i т_ и + • • • + -^m+l, iJ еи,
где А^} и К суть некоторые постоянные; среди постоянных Аи некоторые
должны быть отличными от нуля; положительную целую степень т требуется
определить для каждого А, возможно наибольшей.
Если это выражение подставить в заданную систему дифференциальных
уравнений, то после сокращения на общий множитель еи получим
(г"п-1 \ / tm (tn-1 \
Au ^ZTTT + • • • + Ami) + *¦ (^lt + A* ¦'
VI ( . tm tm~l \
= ZjPU\AVnr + + • • • + Am+t, jj ¦
Соотношения эти должны иметь место при произвольных значениях t; поэтому
коэффициенты при одинаковых степенях t
50
ГЛ. 4. О ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЯХ
должны быть равны между собой:
S(Pu -SiAMi; = 0,
3
s-liPij" (r)iA) A2j = Ali<
}
............................................ (7)
2 (Pij Sf^A) -^m+l, j = Ami i
(i = 1,. . n).
Первая из этих систем уравнений (7) будет тогда иметь нетривиальное
решение для А1}, когда равен нулю определитель из ее коэффициентов
Рп •- А Рп Рщ
А (А) = Р21 Р22 - А . . ^211
Рщ Рщ * Рпп ^
Корни этого характеристического уравнения определяют значения показателя
А.
Пусть А = А0 есть некоторый корень характеристического уравнения. Первая
из систем (7) определяет одно нетривиальное решение для постоянных Л1}-,
если отличен от нуля по крайней мере один из миноров первого порядка
определителя Д (А0). Она определяет к линейно независимых решений для
АХ], если корень А0 обращает в нуль все миноры определителя А (А0) до
порядка к - 1 включительно, не обращая в нуль по крайней мере одного из
миноров к-го порядка.
25. Сначала остановимся на случае, когда корень А, = А0 не обращает в
нуль по крайней мере один из миноров первого порядка. Не уменьшая
общности, допустим, что последний есть Ди. Тогда решение первой из систем
(7) может быть записано (если учесть, что нас интересует частное решение
с точностью до общего всем Axj множителя) известными формулами
Аи = (/ = 1,; л), (8)
где Аобозначает минор (со знаком) определителя А (А,), отвечающий
элементу i-й строки и й колонки; при этом полагается А, == А0. Среди
постоянных А1} найдется при сделанных предположениях хотя бы одна
отличная от нуля, а именно А и.
Если А, остается переменным параметром и не приняло значения отмеченного
корня А = А0 или какого-либо другого фиксированного значения, то
соотношения (8) определяют А и в виде некоторых полиномов от А. Если эти
полиномы Axj подставить в уравнения (t == 2,. . ., п) первой из систем
(7), то получим соотношения
2(Р"; - б"А) АЦ = 0,
ЧАСТНЫЕ РЕШЕНИЯ
51
которые будут удовлетворены тождественно относительно А,, так как левые
части представляют определители л-го порядка с двумя одинаковыми
строчками. Тождества эти возможно дифференцировать по А, сколько угодно
раз.
Дифференцируя их последовательно к раз (к - 1, 2, . . .), заключаем, что
полиномы
4fc+itj = l4j\ (9)
где обозначает к-ю производную от А1} по А, удовлетворяют уравнениям (г =
2, . . ., л) любой системы (7) независимо от значений А.
Подстановка же полиномов Ац, определенных формулами (8) при произвольном
А, в первое уравнение первой из систем (7) дает соотношение
S(Pu' А) -^1/ ~ ^ (^)*
j
Согласно этому соотношению первой системе (7) будут удовлетворять
значения полиномов Ац при А, равном корню характеристического уравнения А
(А) = 0.
Пусть А = А0 является простым корнем характеристического уравнения. Тогда
полиномы Akj, определенные формулами (8) и (9), при значении А,
совпадающем с корнем А0, не могут удовлетворять второй системе (7), и,
следовательно, наивысшая степень тп рассматриваемых нами решений равна
нулю. Действительно, если А = А0 является простым корнем определителя А
(А), то значение первой производной по А от А (А) должно быть при А = А0
отлично от нуля. Поэтому, если один раз продифференцировать последнее
соотношение и использовать определение Агj по формулам (9), получим при А
= А0
А (А0) = 2j (Pij б1;-А0) A2j АХ1 т?= 0,
i
таким образом, первое уравнение второй системы (7) не удовлетворяется.
Пусть теперь А = А0 является корнем кратности р. При таком предположении
значения всех производных определителя А (А) до порядка р - 1
включительно будут нулями при А = А0, а производная р-го порядка при А =
А0 будет отлична от нуля. Дифференцируя предпоследнее соотношение
последовательно к раз (А: = 1,2,...) и используя определения (9)
1 Д№) (А) = ? (Ри ~ *iA) } - Ак 1,
i
заключаем, что значения полиномов ATj (г = 1, . . ., р) при А = А0 будут
удовлетворять р первым системам (7) и не удовлетворять (р + 1)-й.
Следовательно, наибольшая степень тп будет в этом случае на единицу
меньше кратности корня тп = р - 1.
52 "Л. 4. О ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЯХ
