Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Четаев Н.Г. -> "Устойчивость движения " -> 17

Устойчивость движения - Четаев Н.Г.

Четаев Н.Г. Устойчивость движения — М.: Наука, 1965. — 176 c.
Скачать (прямая ссылка): ustoychivostdvijeniya1965.djvu
Предыдущая << 1 .. 11 12 13 14 15 16 < 17 > 18 19 20 21 22 23 .. 63 >> Следующая

две плоскости а - е = 0 и а + е = 0, причем е предполагается столь малой
положительной постоянной, чтобы каждая из ветвей 6\, ..., Сk пересекала
плоскости а* -
- е* = 0.
*) Poincare A. Sur l'equilibre d'une masse fluide animee d'un mou-vement
de rotation // Acta matnematica.- 1885.- V. 7.
Четаев H. Г. Ueber die von den Ellipsoiden abgeleiteten Gleichge-
wichtsfiguren // Изв. Казан, физ.-мат. о-ва.- 1929-1930.- Т. 4.- С. 1-36.
46
ГЛ. 3. УСТОЙЧИВОСТЬ ПРИ ПОТЕНЦИАЛЬНЫХ СИЛАХ
Пусть известные ветви Сг, . . Ск пересекают плоскость а - - е = 0 в
точках Pt, а плоскость а + е = 0 в точках Qt. Для точек Pt и Qi можно
определить знаки гессиана А.
Оказывается, что через точку М дополнительно к выясненным ветвям С-у, . .
пройдут по меньшей мере еще г реальных ветвей кривой равновесия В
где суммирование распространяется по всем указанным точкам, а [/]
обозначает +1, если / 0, и -1, если / < 0.
Распределение устойчивых и неустойчивых положений равновесия для
фиксированного значения а подчиняется закону смены устойчивости,
состоящему в следующем. Уравнения равновесия для фиксированного значения
параметра а - 6 определяют в плоскости а - 6 = 0 пространства (а, хи . .
., хп) отвечающие состояниям равновесия точки Р. Уравнения
определяют некоторую линию Ьг, лежащую в плоскости а - - б = 0 и
проходящую через все точки равновесий. Выбирая какие-либо направления
обхода связных и без двойных точек частей линии Llt мы можем занумеровать
точкиРг'в порядке их встречи. Пусть Pt и Pi+i принадлежат некоторой
связной, без двойных точек, части линии Lx. Оказывается, что
а так как А = . . . х", видим, что при переходе от равновесия
Pt к равновесию Pi+1 степень неустойчивости меняется на нечетное число.
23. Эти общие теоремы о числе реальных ветвей, проходящих через точку
бифуркации, и о смене устойчивости имеют весьма тривиальный смысл для
того практически интересного случая, когда в области точки бифуркации
отличен от нуля определитель
В этом случае вблизи точки бифуркации возможно разрешить однозначно
относительно переменных х2, . . ., хп систему уравнений
получить
[Ар(] + [Ар(+11 = 0,
Xi = Xj (хх, a) (i = 2, . . ., п)
БИФУРКАЦИЯ РАВНОВЕСИЙ
47
и, пользуясь этим решением, исключить переменные х2, . . хп. После такой
замены мы будем иметь всего одно уравнение равновесия
Изображающее вспомогательное пространство будет при этом плоскостью (а,
хг). На кривой равновесий В, определяемой в этой плоскости уравнением / =
0, бифуркации определятся точками, где уничтожается
Пусть прямая а = const сечет линию равновесий / = 0 в точках Pj, какие мы
занумеруем последовательно при обходе прямой а = const слева направо.
Выражение б, очевидно, меняет свой знак при переходе от точки Рг к точке
Pi+х, если ни одна из этих точек не есть точка бифуркации. Смысл б
нетрудно определить. Когда механическая система имеет всего одну степень
свободы, то 6 непосредственно является единственным коэффициентом
устойчивости Пуанкаре. В общем случае имеем
Если решения xt = xt (х1, а) вставить обратно в исходные уравнения, то
получим тождества, которые возможно дифференцировать по переменной хх:
Предшествующее соотношение и эта система уравнений будут иметь
нетривиальное решение для
4 дъ дхп
'дц дхх'
когда определитель, составленный из их коэффициентов, равен нулю
П
d*V
48
ГЛ. 3. УСТОЙЧИВОСТЬ ПРИ ПОТЕНЦИАЛЬНЫХ СИЛАХ
откуда
Согласно приведению квадратичных форм к каноническому виду по методу
Кронекера замечаем, что б в соответствующих переменных равняется одному
из коэффициентов устойчивости. Из предположенного соотношения Ах Ф 0
следует, что каждой точке бифуркации А 0 в полной системе переменных (а,
хг, . . . . . ., хп) отвечает точка бифуркации 6 = 0 приведенной системы
и наоборот. При этом в точке бифуркации будет уничтожаться один и только
один коэффициент устойчивости б. В самом деле, если уничтожаются два
коэффициента устойчивости, то канонический вид квадратичной формы в
разложении V должен сводиться к сумме п - 2 квадратов, и поэтому все
миноры первого порядка определителя А должны были бы обращаться в нуль,
что противоречит предположению Ах Ф 0.
Рассмотрим интересный для приложений случай, когда при приведении
квадратичной формы У к ее каноническому виду по методу Кронекера все
коэффициенты приведенной формы, кроме 6, всегда положительны. Тогда
устойчивость или неустойчивость равновесия будет зависеть лишь от знака
б; при 6 положительном равновесие устойчиво, при отрицательном б-
неустойчиво. В плоскости (х{, а), где ось xt идет горизонтально слева
направо, а ось а снизу вверх, устойчивыми будут те ветви равновесий / -
0, справа от которых значения / положительны (б 0).
ГЛАВА 4
О ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЯХ
С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ
Частные решения
Если в уравнениях возмущенных движений правые части зависят явно от
времени, то соответствующее невозмущенное движение Раус предложил
называть неустановившимся; когда же они не зависят явно от t,
Предыдущая << 1 .. 11 12 13 14 15 16 < 17 > 18 19 20 21 22 23 .. 63 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed