Устойчивость движения - Четаев Н.Г.
Скачать (прямая ссылка):
положительная) функции W в области
я<2*82<я
будет низшей границей для значений функции U в области V > е-
Теорема. Если дифференциальные уравнения возмущенного движения таковы,
что возможно найти функцию V, ограниченную в области V 0, существующей
при всяком t ^ t0 и для сколь угодно малых по абсолютной величине
значений переменных xs, производная которой V' в силу этих уравнений была
бы определенно-положительной в области V 0, то невозмущенное движение
неустойчиво.
Доказательство. Для ограниченной функции V найдутся такие постоянные t0 и
Н, что при всех значениях переменных xs в области F^>0, удовлетворяющих
кроме того условиям (2), будет выполняться неравенство
V <. L. (5)
Надо показать, что для такого Н не найдется столь малого положительного
А,, чтобы при любых начальных возмущениях xs0, стесненных равенством
2 *50 = Я,
ни для какого t ^>t0 второе из неравенств (2) не было нарушено.
Доказательство будем вести от противного, предполагая, что такое Я
существует. Выберем начальные возмущения zs0 на сфере (Я) так, чтобы
начальное значение функции F0 было отлично от нуля и положительно. Как бы
мало F0 ни было, для F', определенно-положительной в области F 0,
найдется такое отличное от нуля число Г, что для переменных xs,
удовлетворяющих условиям
F > Fo,
значения функции F' будут удовлетворять неравенству F' ^ V.
Поэтому, пока не было нарушено неравенство F ^ F0 для всех значений t,
больших t0, согласно уравнению
t
v - V0 = \v'dt
t.
ТЕОРЕМА О НЕУСТОЙЧИВОСТИ
29
выводим
у > v0 + v (t - t0).
Неравенство это может существовать совместно с неравенством (5) только
при значениях t, меньших величины
t I L-~V° h + v ¦
Нарушение же неравенства (5) говорит в этом случае о нарушении второго из
условий (2). А этим обнаруживается неустойчивость невозмущенного движения
*.
14 Ц6]. Ляпунов предложил две теоремы о неустойчивости, которые весьма
просто получаются из предыдущей.
Первая теорема: если дифференциальные уравнения возмущенного движения
таковы, что возможно найти функцию V, которая обладала бы в силу этих
уравнений знакоопределенной производной V', притом допускала бы
бесконечно малый высший предел и была бы такова, чтобы при всяком t,
большем некоторой постоянной, надлежащим выбором величин xs, абсолютно
сколь угодно малых, ее можно было сделать величиной одинакового знака с
ее производной, то невозмущенное движение неустойчиво.
Для доказательства достаточно заметить, что функция V этого предложения
удовлетворяет условиям, сформулированным в теореме п. 13, ибо
знакоопределенная, пусть положительная, производная V' будет определенно-
положительной в области V > О, так как V допускает бесконечно малый
высший предел.
Вторая теорема: если дифференциальные уравнения возмущенного движения
таковы, что возможно найти ограниченную функцию V, производная которой в
силу этих уравнений приводилась бы к виду
dV
= XV + W,
где X - положительная постоянная, a W или тождественно равна нулю, или
представляет некоторую знакопостоянную функцию, и если в последнем случае
найденная функция V такова, что при всяком t, большем некоторого числа,
надлежащим выбором величин xs, сколь угодно численно малых, ее можно
сделать величи ною одинакового знака с W, то невозмущенное движение
неустойчиво.
В самом деле, производная V' есть знакоопределенная функция в области,
где V имеет значения знака, совпадающего со знаком W, если W не есть
тождественно нуль. Бели W равна тождественно нулю, то V будет
знакоопределенной как в области V > О, так и в области F< О*.
30
ГЛ. 2. ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ ПРЯМОГО МЕТОДА ЛЯПУНОВА
Во всех случаях, когда это будет возможно, для доказательства
неустойчивости мы будем пользоваться теоремами Ляпунова *).
15 [16]. Пример. Пусть уравнения возмущенного движения суть
dx> dV / .
dt ~ dxg (S ~ ' ' '' n)'
где V есть не зависящая от t голоморфная функция переменных xs,
разложение которой начинается членами не ниже второго порядка.
Имеем
I- .. : (JL
W U
Поэтому всякий раз, когда V есть функция определенно-отрицательная,
невозмущенное движение будет устойчивым. Напротив, оно будет
неустойчивым, если V может принимать положительные значения в сколь
угодно малой окрестности точки хг - 0, . . .
. = 0 и если только мы не имеем дело со случаем, когда
системе уравнений
S
возможно удовлетворить не равными одновременно нулю вещественными
значениями переменных xs, сколь угодно малыми по абсолютной величине.
Случай этот, наверное, не представится,
' <?2F II ,
---- не обращается в нуль, когда все перемен-
если определить
ные xs суть нули.
Пример. Рассмотрим систему дифференциальных уравнений
dxs
-Jf - Pslxl (-••• + psnXn,
где непрерывные ограниченные функции pSr (t) при г, не равном s, обладают
свойством pSr = -prS.
Если при этом коэффициенты pss либо суть нули, либо могут обратиться в
нуль для некоторых значений t ^ <0, оставаясь для других значений
отрицательными, либо для t > t0 все они суть отрицательные, то
