Устойчивость движения - Четаев Н.Г.
Скачать (прямая ссылка):
lix\<A,
S
с коэффициентами psr, р<т' --тп\ являющимися определенными вещественными
непрерывными функциями t:
Х" = Pslxl + Ь Рапхп + 2 P(smi-'mn) хГ'- • • Хпп,
где суммирование распространено на все целые неотрицательные числа |"|, .
. ., тп, удовлетворяющие условию
т, + ... -f тп > 1.
14
ГЛ. 1. ЗАДАЧИ УСТОЙЧИВОСТИ
Определение устойчивости Ляпунова перефразируется в переменных х
следующим образом.
Если при всяком произвольно задаваемом числе А, как бы мало оно ни было,
может быть выбираемо положительное число Я так, чтобы при всяких
возмущениях ,т1о, .... ¦*•"", удовлетворяющих условию
S *80 ^ Я,
$
и при всяком t, превосходящем 10, выполнялось неравенство
Л,
s
то невозмущенное движение - устойчиво, в противном случае - неустойчиво.
В определении устойчивости предполагается, что возмущающих сил нет в том
смысле, что возмущенные движения происходят под действием тех же внешних
сил, которые учитывались при определении невозмущенного движения, а число
А произвольно и может быть сколь угодно малым.
Если невозмущенное движение устойчиво, то условия, которые имеются в
определении устойчивости, будут выполняться, начиная, быть может, с
малых, но все же конечных А и Я.
Ляпунов не интересовался вопросом, сколь велико может быть значение Я,
хотя в доказательстве своей теоремы об устойчивости он дал практически
полезный способ построения Я для определенного, ограниченного сверху
числа А*.
Задача об устойчивости при возмущающих силах не имеет смысла, если
последние ничем не стеснены. Если возмущающие силы меняются от случая к
случаю так мало, что их изменение не влияет на линейные члены в функциях
Xs, то возникает практически важная задача об устойчивости по первому
приближению независимо от членов выше первого порядка в функциях Xs.
Задачу эту разрешил Ляпунов, причем в ее решении он видел свое главное
достижение.
Г I ABA 2
ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ ПРЯМОГО МЕТОДА ЛЯПУНОВА
Некоторые определения
6. Развитый Ляпуновым прямой метод изучения устойчивости состоит не в
интегрировании дифференциальных уравнений воз-мущенного движения, а в
отыскании некоторых функций переменных /, х,. . . ., х", полные
производные которых по времени и силу уравнений (1) обладают некоторыми
свойствами.
По признанию Ляпунова на это метод его натолкнуло изучение важного
мемуара Пуанкаре "О кривых, определяемых дифференциальными уравнениями"
1).
7 (15J. Мы будем рассматривать вещественные функции вещественных
переменных t, xlt . . ., хп, подчиненных условиям
t > t0 и xt < Н, (2)
где t" и Я суть постоянные, причем Н всегда будет предполагаться отличной
от нуля. При этом мы всегда будем предполагать, что функции эти
непрерывны, однозначны и уничтожаются, когда переменные ха. суть все
нули.
Когда при условиях (2). если в них tu сделать достаточно большим, а Н
достаточно .малым, рассматриваемая функция V принимает, кроме нулевых,
значения только одного знака, то такую функцию будем называть
знакопостоянной. Когда же пожелаем оташтить ее знак, то будем говорить,
что она положительная или отрицательная.
Если знакопостоянная функция V не зависит от /, а постоянная // может
быть выбрана достаточно малой для того, чтобы при условиях (2) функция V
уничтожалась лишь тогда, когда все переменные xs суть нули, то такую
функцию V будем называть ана неопределенной, а желая обратить внимание,
на ее знак,- ни/;, о^ленно-положительной или определенно-отрицательной.
Функцию V, зависящую явно от t. будем называть знакоопределенной только
при условии, если для нее возможно найти такую
' | Пуанкаре А. О кривых, определяемых дифференциальными уравнениями:
Пер. с фр.- М.: Гостехиздат, 1947.
16
ГЛ. 2. ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ ПРЯМОГО МЕТОДА ЛЯПУНОВА
не зависящую от t определенно-положительную функцию W, чтобы одно из двух
выражений
V - W или -V - W
представляло функцию положительную. Так, каждая из функций
^1 + ^2 - 2хьх2 cos t, t (.г* + x%) - 2xjX2 cos t
положительна. Но первая есть только знакопостоянная, а вторая будет к
тому же знакоопределенной, если в задаче нет других, кроме х, и х2,
переменных; за функцию W можем принять х\ + + х2, так как при tn )>2 и
произвольном положительном Н разность V - W при условиях (2) никогда не
будет отрицательной*.
В пространстве переменных хи . . ., хп в области, ограниченной вторым из
неравенств (2), уравнения V - с - const представляют некоторые
непрерывные поверхности, подвижные, если
V зависит явно от t; притом через начало, в котором все переменные xs
предполагаются равными нулю, проходит поверхность
V = 0.
Если функция V - знакоопределенная и не зависящая от f, то поверхности V
- с обладают тем свойством, что не существует никакого непрерывного пути
из начала в произвольную точку сферы (А)
%x2s = A М<Я),
S
не Пересекающего поверхности V = с, если числовое значение с не
превосходит наименьшего значения модуля | V \ на этой сфере.
Геометрическое место первых точек поверхности V = с на всех возможных
непрерывных путях из начала (х* = 0, . . ., хп = 0) к точкам сферы (Д)
